问题

尼尔(Neil)抛物线是指

$$C:y^2=x^3.$$

这条曲线也可参数化, 即

$$\begin{array}{rcl}\phi :\mathbb{R}& \to & {\mathbb{R}}^2\\ t& \mapsto & (t^2,t^3)\end{array}$$

$$\mathrm{d}\phi =(\mathrm{d}{\phi }_1,\mathrm{d}{\phi }_2)=(2t\mathrm{d}t,3t^2\mathrm{d}t)$$

从而 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}{\phi }_1}{\mathrm{d}{\phi }_2}}={\displaystyle \frac{2t\mathrm{d}t}{3t^2\mathrm{d}t}}={\displaystyle \frac{2}{3t}}$, 在 $t=0$ 处（也即原点处）为 $\mathrm{\infty }$, 因此图像在原点处是“尖点”.

或者将 $x$ 看成 $y$ 的函数, $x=y^{2/3}$, 可见在 $y=0$ 处导数不存在. 这样也可解释图像在原点处是“尖点”.

References:

Klaus Hulek  著 《初等代数几何》P.6