问题

尼尔(Neil)抛物线是指

\[
C:\quad y^2=x^3.
\]

这条曲线也可参数化, 即

\[
\begin{eqnarray}
\varphi:\ \mathbb{R}&\rightarrow&\mathbb{R}^2\\
t&\mapsto &(t^2,t^3)
\end{eqnarray}
\]

\[
\mathrm{d}\varphi=(\mathrm{d}\varphi_1,\mathrm{d}\varphi_2)=(2t\mathrm{d}t,3t^2\mathrm{d}t)
\]

从而 $\dfrac{\mathrm{d}\varphi_1}{\mathrm{d}\varphi_2}=\dfrac{2t\mathrm{d}t}{3t^2\mathrm{d}t}=\dfrac{2}{3t}$, 在 $t=0$ 处（也即原点处）为 $\infty$, 因此图像在原点处是“尖点”.

或者将 $x$ 看成 $y$ 的函数, $x=y^{2/3}$, 可见在 $y=0$ 处导数不存在. 这样也可解释图像在原点处是“尖点”.

References:

Klaus Hulek  著 《初等代数几何》P.6