问题

下面的一族平面三次曲线

\[
C_{\lambda}:\quad y^2=x(x-1)(x-\lambda),\qquad(\lambda\in\mathbb{R})
\]

除 $\lambda=0,1$ 外, $C_{\lambda}$ 在 $\mathbb{R}$ 上不能被有理参数化. 但是在 $\mathbb{C}$ 上, 有一个用亚纯函数的参数化.

为此, 先考虑更一般的形式:

\[
g^2=f(f-1)(f-\lambda),\quad (\lambda\neq 0,1)
\]

这里要求 $f,g\in k(t)$ 是有理函数. $k\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$. 下面的命题表明, 如果有理函数 $f,g$ 满足上面的等式, 则 $f,g$ 一定是常数.

命题. 设 $f,g\in k(t)$ 是有理函数, $k\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$, 并且满足

\[
g^2=f(f-1)(f-\lambda),\quad (\lambda\neq 0,1)
\]

则 $f$ 和 $g$ 为常数, 即 $f,g\in k$.

推论. 对于 $\lambda\neq 0,1$, 没有非常值的映射

\[
(f,g):\quad k\rightarrow C_{\lambda},\quad (f,g\in k(t))
\]

特别地, $C_{\lambda}(\lambda\neq 0,1)$ 无法被有理参数化.

关于 $C_0$ 和 $C_1$.

$C_0:\ y^2=x^3-x^2$

$C_1:\ y^2=x(x-1)^2$

(1)

$y^2=x^3+x^2$ 具有参数化: $t\mapsto(t^2-1, t^3-t)$. (参见问题1500)

因此, 仿照其做法, 令 $y=tx$, $x=t^2+1$, 从而 $y^2=t^2 x^2=(x-1)x^2=x^3-x^2$. 

因此 $C_0:\ y^2=x^3-x^2$ 的参数化方程是

\[
\begin{eqnarray}
\varphi:\ \mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R}\\
t&\mapsto&(t^2+1, t^3+t)
\end{eqnarray}
\]

(2) 对于 $C_1$, 令 $u=x-1$, 则 $C_1$ 变为(右移为) $y^2=(u+1)u^2=u^3+u^2$, 此即问题1500.  

具有参数化 $t\mapsto(u=t^2-1, y=t^3-t)$. 因此 $C_1$ 的参数化方程为:

\[
\begin{eqnarray}
\varphi:\ \mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R}\\
t&\mapsto&(t^2, t^3-t)
\end{eqnarray}
\]

Question:

还有其他的例子吗? 即有没有其他的实曲线, 其不能被有理函数参数化?

Remark:

若 $A=a^p$, $B=b^p$, $C=c^p$, 且满足费马方程 $A+B=C$, 则 Gerhard Frey 椭圆曲线 (Gerhard Frey's elliptic curve)

\[y^2=x(x-A)(x+B)\]

具有判别式 $16(abc)^{2p}$. (参见[2], P.114)

References:

[1] Klaus Hulek 著, 胥鸣伟 译 《初等代数几何》 高等教育出版社.

[2] Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 科学出版社.