问题及解答

解释:

设 $k$ 是代数闭域, 记 $A=k[x_1,\dots ,x_n]$. 对 $A$ 的任意子集 $T$, 定义

$$V(T):=\{P\in {\mathbb{A}}_k^n\mid \text{对所有}f\in T,\text{有}f(P)=0\}.$$

映射

$$\begin{array}{}:\{A\text{的理想}\}& \to & \{{\mathbb{A}}_k^n\text{中的代数集}\}\\ J& \mapsto & V(J)\end{array}$$

是满射. 这是因为任取 ${\mathbb{A}}_k^n$ 中一个代数集 $Y$, 根据代数集的定义, 存在 $T\subset A$, 使得 $V(T)=Y$. 对于 $T$, 考虑由其生成的理想 $J:=(T)$, 则有 $V(J)=V(T)$.

对每个子集 $X\subset {\mathbb{A}}_k^n$, 定义一个如下的理想:

$$I(X):=\{f\in A\mid f(P)=0\mathrm{\forall }P\in X\}$$

由于 $A$ 是多项式环, 如此定义的 $I(X)$, 显然满足理想的定义. 于是得到下面的映射

$$\begin{array}{}:\{{\mathbb{A}}_k^n\text{的子集}\}& \to & \{A\text{中的理想}\}\\ X& \mapsto & I(X)\end{array}$$

Claim 1. $V$ 不是单射.

例: $(x_1,\dots ,x_n)$ 是有 $f_i(x_1,\dots ,x_n):=x_i$, $i=1,2,\dots ,n$ 生成的理想.

若设 $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$,  $(x_1^m,\dots ,x_n^m)$ 是有 $g_i(x_1,\dots ,x_n):=x_i^m$, $i=1,2,\dots ,n$ 生成的理想.

显然有 $(x_1^m,\dots ,x_n^m)\subset (x_1,\dots ,x_n)$.

于是 $V(x_1^m,\dots ,x_n^m)=V(x_1,\dots ,x_n)$. 因此 $V$ 不是单射.

References:

Klaus Hulek 著, 《初等代数几何》