证明等式 $x^4+y^4=1$ 只有有理解 $(\pm 1,0)$ 和 $(0,\pm 1)$.

[Hint] 使用无穷递降法证明 $x^4+y^4=z^2$ 无正整数解.

References:

Klaus Hulek 著 《初等代数几何》,  胥鸣伟 译.   P.16

(a) 特殊线性群

\[
SL(n,\mathbb{C})=\{A\in Mat(n\times n,\mathbb{C})\mid\det(A)=1\}
\]

(b) 实正交群

\[
O(n,\mathbb{R})=\{A\in Mat(n\times n,\mathbb{R})\mid A^t\cdot A=I_n\}
\]

References:

Klaus Hulek 著, 胥鸣伟 译 《初等代数几何》P. 16, 习题

(a) $M_1:=\{(\cos t, \sin t)\mid t\in[0,2\pi]\}\subset\mathbb{R}^2$.

(b) $M_2:=\{(t,\sin t)\mid t\in\mathbb{R}\}\subset\mathbb{R}^2$.

References:

Klaus Hulek 著, 胥鸣伟 译 《初等代数几何》P. 16, 习题

对于域 $k$ 上的多项式环 $k[x_1,\ldots,x_n]$, 我们没有必要考虑其所有子集 $T$. 我们转而考虑由 $T$ 生成的理想

\[
J:=(T)\subset k[x_1,\ldots,x_n]
\]

由于多项式环 $k[x_1,\ldots,x_n]$ 是诺特环, 因此其每个理想都是有限生成的. 故对于 $J$, 存在有限个多项式 $f_1,\ldots,f_m\in k[x_1,\ldots,x_n]$, 使得

\[
J=(f_1,\ldots,f_m).
\]

引理 0.1 我们有

\[
V(T)=V(J)=V(f_1,\ldots,f_m).
\]

这里 $V(T)$ 指 $T$ 的零点集, 即 $V(T):=\{P\in\mathbb{A}^n\mid f(P)=0, \forall f\in T\}$.

证明: 显然有 $V(J)\subset V(T)$, 因为 $T\subset J$.

下证: $V(T)\subset V(J)$. 任取 $P\in V(T)$, 要证 $P\in V(J)$. 也就是对任意 $g\in J$, $g(P)=0$.

由于 $J$ 是 $T$ 生成的理想, $J=(T)$ 是有限生成的. 故存在多项式 $h_1,\ldots,h_{\ell}\in T$ 以及 $q_1,\ldots,q_{\ell}\in k[x_1,\ldots,x_n]$, 使得

\[
g=h_1 q_1+\cdots+h_{\ell}q_{\ell}.
\]

由于 $P\in V(T)$, 故 $h_i(P)=0$, $i=1,\ldots,\ell$. 因此 $g(P)=0$. 说明 $P\in V(J)$.

因此, $V(T)\subset V(J)$.

Remark:

诺特环指其每个理想升链都是有限终止的.

设

\[I_1\subset I_2\subset I_3\subset\cdots\subset I_n\subset\cdots\]

是一个理想升链, 如果存在某个 $N$, 当 $n > N$ 时, $I_n=I_N$. 则称为理想升链条件. 如果一个环满足理想升链条件, 则称为诺特环.

每个理想升链都是有限终止等价于每个理想都是有限生成.

References:

Klaus Hulek 著, 胥鸣伟 译《初等代数几何》

我们称由 $f(x,y)=0$ 定义的不可约代数曲线 $X$ 是有理的(rational), 如果存在两个有理函数 $\varphi(t)$ 和 $\psi(t)$, 其中至少有一个是非常值的(如果两个都可导, 则通常要求 $(\varphi'(t))^2+(\psi'(t))^2\neq 0$), 使得

\[
f(\varphi(t),\psi(t))\equiv 0
\]

显然, 若 $t=t_0$ 不是使得 $\varphi$ 和 $\psi$ 的分母等于0 的那有限个数值之一, 则 $(\varphi(t_0),\psi(t_0))$ 是代数曲线 $X$ 上的一点.

可以证明, 通过选取合适的参数化函数 $\varphi$ 和 $\psi$, 映射 $t_0\mapsto(\varphi(t_0),\psi(t_0))$ 是 $t$ 的值构成的集合与曲线点集之间的一一对应, 当然前提在去掉了有限个 $t$ 的值和曲线上有限个点之后.

反之, 参数 $t$ 可以表示为坐标 $x$ 和 $y$ 的一个有理函数 $t=\chi(x,y)$.

例子参见问题1500

若有理函数 $\varphi$ 和 $\psi$ 的系数属于数域 $k$ 的某个子域 $k_0$, 且 $t_0\in k_0$, 则点 $(\varphi(t_0),\psi(t_0))$ 的坐标也属于 $k_0$. 这个观察指向有理曲线概念的一个可能的应用. 假设 $f(x,y)$ 具有有理系数. 如果我们知道由 1.1(1) (即 $f(x,y)=0$) 给定的曲线是有理的, 则 $\varphi$ 和 $\psi$ 的系数属于 $\mathbb{Q}$.

Remark:

笔记译自

Shafarevich 基础代数几何（Basic Algebraic Geometry I） 第1卷 第2版, P.5-6

若多项式的系数所在的域是一个代数闭域, 则该多项式的根的数目等于其次数. （*）

Bézout 定理是这个结果的推广. 说的是:

两个不同的不可约代数曲线的交点的数目, 等于它们次数的乘积.

引理(问题2337)说这个数目是有限的.

关于多项式根的数目的定理(*)是Bézout 定理的特殊情况, 即

\[
\begin{cases}
y-f(x)=0,\\
y=0.
\end{cases}
\]

Bézout 定理成立需要一些补充说明, 首先我们考虑的点的坐标要在一个代数闭域中. 比如实平面上两个椭圆, 有三种位置关系, 相交的点数可能是 0 个、2个或4个. 显然, Bézout 定理只对第三种情形有效.

Example:

设 $P$ 是圆 $C$ 外一点, 则过点 $P$ 有两条切线. 连接两切点的直线称为点 $P$ 关于圆 $C$ 的极线(polar line).

所有这些构造可以用点 $P$ 的坐标与圆 $C$ 方程的代数关系来表述. 因此, 也可以应用到 $P$ 点位于圆 $C$ 内的情形. 当然, 现在直线的切点具有复的坐标, 并且在图中无法被看到. 但是由于原始数据是实的, 在将两个切点的数换成其共轭后, 所获得的点集(即两个切点)是不变的. 也即是说两个切点是复共轭的. 因此, 连接它们的直线 $L$ 是实的. 这条直线也被称为点 $P$ 关于圆 $C$ 的极线. 我们也容易对其给出一个实的定义: 此极线是圆 $C$ 外的那些所对应极线通过点 $P$ 的点所形成的一条轨迹(locus).

这里有一些其他情形, 在代数非闭域上所出现的涉及代数几何的问题, 它们的研究通常需要过渡到一个代数闭域.

(1) $k=\mathbb{Q}$.

代数曲线 $f(x,y)=0$ 上有理点的研究, 这里 $f\in\mathbb{Q}[x,y]$. 所谓有理点, 就是这些点的坐标要求是有理数.

这是数论中基础问题之一, 即不定方程理论(theory of indeterminate equations).

举个例子, 费马大定理(Fermat's Last Theorem)要求我们确定曲线 $x^n+y^n=1$ 上的有理点 $(x,y)\in\mathbb{Q}^2$.

(2) 有限域(Finite Fields)

设 $k=\mathbb{F}_p$ 是模 $p$ 所得数构成的域. 研究由 $f(x,y)=0$ 所给出的代数曲线上的系数在 $k$ 中的点, 是数论中的另一个问题, 即关于同余 $f(x,y)\equiv 0\mod p$ 的解的问题.

(3) $k=\mathbb{C}(z)$

考虑 $\mathbb{A}^3$ 中由 $F(x,y,z)=0$ 所给出的代数曲面, 这里 $F(x,y,z)\in\mathbb{C}[x,y,z]$. 通过将 $z$ 放到系数中, 即视 $F$ 为变量 $x,y$ 的多项式,  我们可以将曲面视为以 $z$ 为变量的有理函数域 $\mathbb{C}(z)$ 上的一条代数曲线. 这是研究代数曲面极其有用的方法.

Remark:

笔记译自

Shafarevich 基础代数几何（Basic Algebraic Geometry I） 第1卷 第2版
 

对于非代数闭域 $k_0$, 代数几何中通常转为考虑包含它的某个代数闭域 $k$.

比如实数域 $\mathbb{R}$ 上的问题, 转化为考虑复数域 $\mathbb{C}$ 上的问题.

Lemma. 设 $k$ 是任意一个域, $f\in k[x,y]$ 是一个不可约多项式, $g\in k[x,y]$ 是任意一个多项式. 若 $g$ 不能被 $f$ 整除, 则方程组 $f(x,y)=g(x,y)=0$ 仅有有限多个解.

References:

Igor R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I.  [p.2]

塞尔猜想(Serre's Conjecture)

一个域上多项式环上的投射模是自由模.

References:

拓扑斯理论是数学理论还是物理理论？它是谁创造的？又是为了解决什么问题？

https://zhidao.baidu.com/question/551345193.html

设 $P_i\in\mathbb{P}^2$, $i=1,2,3,\ldots,8$ 处于一般位置. 也就是说, 没有四个点是共线的, 并且没有七个点在同一个圆锥曲线(conic)上.

设 $F$ 是一个带有十个未知系数($a_1,a_2,\ldots,a_{10}$)的三次多项式(generic cubic polynomial), 联立方程组

\[
F(P_1)=F(P_2)=\cdots=F(P_8)=0\tag{*}
\]

是一个带有10个未知系数的由8个线性方程构成的线性方程组.

(1) 证明: 如果这八个点 $P_1,P_2,\ldots,P_8$ 处于一般位置, 则线性方程组 $(*)$ 的秩等于 8.

(2) 利用线性代数中的 Rank-Nullity 定理, 证明: 存在两个线性独立的三次曲线(cubics) $F_1(x,y,z)$ 和 $F_2(x,y,z)$, 使得过这八个点 $P_1,P_2,\ldots,P_8$ 的任意三次曲线具有形式 $\lambda F_1+\mu F_2$.

(3) 对于处于一般位置的八个点, 我们断言, 存在唯一的第九个点 $P_9$, 使得每条通过这八个给定点的三次曲线都必定经过点 $P_9$.

题目来源: [Ex 2.3.11,  Book]

[Book] Algebraic Geometry: A Problem Solving Approach