问题及解答

(a) 特殊线性群

\[
SL(n,\mathbb{C})=\{A\in Mat(n\times n,\mathbb{C})\mid\det(A)=1\}
\]

(b) 实正交群

\[
O(n,\mathbb{R})=\{A\in Mat(n\times n,\mathbb{R})\mid A^t\cdot A=I_n\}
\]

References:

Klaus Hulek 著, 胥鸣伟 译 《初等代数几何》P. 16, 习题

回忆代数集的概念. 集合 $Y\subset\mathbb{A}^n$ 是一个(仿射)代数集, 是指存在多项式环 $k[x_1,\ldots,x_n]$ 中的一个子集 $T\subset k[x_1,\ldots,x_n]$, 使得 $Y=V(T)$.

(a) 这里考虑仿射空间 $\mathbb{A}^{n^2}$, 

\[
V:=\{(x_{ij})_{n\times n}\mid \det(x_{ij})-1=0\}
\]

这里 $\det(x_{ij})-1$ 就是关于 $x_{11},x_{12},\ldots,x_{nn}$ 的一个多项式, 因此 $V$ 是 $SL(n,\mathbb{C})$ 所对应的代数集. 事实上, 它也是一个代数群. 

乘法映射 

\[
\begin{eqnarray}
\mu:\ SL(n,\mathbb{C})\times SL(n,\mathbb{C})&\rightarrow &SL(n,\mathbb{C})\\
(A,\ B)&\mapsto& AB
\end{eqnarray}
\]

以及逆映射

\[
\begin{eqnarray}
\mu:\ SL(n,\mathbb{C})&\rightarrow &SL(n,\mathbb{C})\\
A&\mapsto& A^{-1}
\end{eqnarray}
\]

它们是原矩阵分量的多项式和有理函数的映射. 因此 $SL(n,\mathbb{C})$ 是一个代数群.