问题

我们称由 $f(x,y)=0$ 定义的不可约代数曲线 $X$ 是有理的(rational), 如果存在两个有理函数 $\varphi(t)$ 和 $\psi(t)$, 其中至少有一个是非常值的(如果两个都可导, 则通常要求 $(\varphi'(t))^2+(\psi'(t))^2\neq 0$), 使得

\[
f(\varphi(t),\psi(t))\equiv 0
\]

显然, 若 $t=t_0$ 不是使得 $\varphi$ 和 $\psi$ 的分母等于0 的那有限个数值之一, 则 $(\varphi(t_0),\psi(t_0))$ 是代数曲线 $X$ 上的一点.

可以证明, 通过选取合适的参数化函数 $\varphi$ 和 $\psi$, 映射 $t_0\mapsto(\varphi(t_0),\psi(t_0))$ 是 $t$ 的值构成的集合与曲线点集之间的一一对应, 当然前提在去掉了有限个 $t$ 的值和曲线上有限个点之后.

反之, 参数 $t$ 可以表示为坐标 $x$ 和 $y$ 的一个有理函数 $t=\chi(x,y)$.

例子参见问题1500

若有理函数 $\varphi$ 和 $\psi$ 的系数属于数域 $k$ 的某个子域 $k_0$, 且 $t_0\in k_0$, 则点 $(\varphi(t_0),\psi(t_0))$ 的坐标也属于 $k_0$. 这个观察指向有理曲线概念的一个可能的应用. 假设 $f(x,y)$ 具有有理系数. 如果我们知道由 1.1(1) (即 $f(x,y)=0$) 给定的曲线是有理的, 则 $\varphi$ 和 $\psi$ 的系数属于 $\mathbb{Q}$.

Remark:

笔记译自

Shafarevich 基础代数几何（Basic Algebraic Geometry I） 第1卷 第2版, P.5-6