Bézout 定理
若多项式的系数所在的域是一个代数闭域, 则该多项式的根的数目等于其次数. （*）
Bézout 定理是这个结果的推广. 说的是:
两个不同的不可约代数曲线的交点的数目, 等于它们次数的乘积.
引理(问题2337)说这个数目是有限的.
关于多项式根的数目的定理(*)是Bézout 定理的特殊情况, 即
\[
\begin{cases}
y-f(x)=0,\\
y=0.
\end{cases}
\]
Bézout 定理成立需要一些补充说明, 首先我们考虑的点的坐标要在一个代数闭域中. 比如实平面上两个椭圆, 有三种位置关系, 相交的点数可能是 0 个、2个或4个. 显然, Bézout 定理只对第三种情形有效.
Example:
设 $P$ 是圆 $C$ 外一点, 则过点 $P$ 有两条切线. 连接两切点的直线称为点 $P$ 关于圆 $C$ 的极线(polar line).
所有这些构造可以用点 $P$ 的坐标与圆 $C$ 方程的代数关系来表述. 因此, 也可以应用到 $P$ 点位于圆 $C$ 内的情形. 当然, 现在直线的切点具有复的坐标, 并且在图中无法被看到. 但是由于原始数据是实的, 在将两个切点的数换成其共轭后, 所获得的点集(即两个切点)是不变的. 也即是说两个切点是复共轭的. 因此, 连接它们的直线 $L$ 是实的. 这条直线也被称为点 $P$ 关于圆 $C$ 的极线. 我们也容易对其给出一个实的定义: 此极线是圆 $C$ 外的那些所对应极线通过点 $P$ 的点所形成的一条轨迹(locus).
这里有一些其他情形, 在代数非闭域上所出现的涉及代数几何的问题, 它们的研究通常需要过渡到一个代数闭域.
(1) $k=\mathbb{Q}$.
代数曲线 $f(x,y)=0$ 上有理点的研究, 这里 $f\in\mathbb{Q}[x,y]$. 所谓有理点, 就是这些点的坐标要求是有理数.
这是数论中基础问题之一, 即不定方程理论(theory of indeterminate equations).
举个例子, 费马大定理(Fermat's Last Theorem)要求我们确定曲线 $x^n+y^n=1$ 上的有理点 $(x,y)\in\mathbb{Q}^2$.
(2) 有限域(Finite Fields)
设 $k=\mathbb{F}_p$ 是模 $p$ 所得数构成的域. 研究由 $f(x,y)=0$ 所给出的代数曲线上的系数在 $k$ 中的点, 是数论中的另一个问题, 即关于同余 $f(x,y)\equiv 0\mod p$ 的解的问题.
(3) $k=\mathbb{C}(z)$
考虑 $\mathbb{A}^3$ 中由 $F(x,y,z)=0$ 所给出的代数曲面, 这里 $F(x,y,z)\in\mathbb{C}[x,y,z]$. 通过将 $z$ 放到系数中, 即视 $F$ 为变量 $x,y$ 的多项式, 我们可以将曲面视为以 $z$ 为变量的有理函数域 $\mathbb{C}(z)$ 上的一条代数曲线. 这是研究代数曲面极其有用的方法.
Remark:
笔记译自
Shafarevich 基础代数几何（Basic Algebraic Geometry I） 第1卷 第2版