问题及解答

引理. 设 $p,q\in\mathbb{C}[t]$ 互素. 如果有四个不同的比值 $\dfrac{\lambda}{\mu}\in\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ 使得 $\lambda p+\mu q$ 为 $\mathbb{C}[t]$ 中的平方式, 则 $p,q\in\mathbb{C}$.

References:

Klaus Hulek 著 《初等代数几何》P.8

令 $p'=\alpha p+\beta q$, $q'=\gamma p+\delta q$, 即

\[
\begin{pmatrix}
p'\\
q'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
\gamma & \delta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p\\
q
\end{pmatrix}\qquad(*)
\]

这里矩阵 $\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
\gamma & \delta
\end{pmatrix}\in\mathrm{GL}(2,\mathbb{C})$, 从而这两个复多项式 $p'$ 和 $q'$ 也互素. （由于 $p,q$ 互素, 故可视为线性无关, 只要系数矩阵满秩, 则得到的 $p'$ 和 $q'$ 仍是线性无关的.）

现在我们应用费马的无穷下降法.

假设引理的结论不成立, 

（也就是, 有四个不同的比值 $\lambda/\mu\in\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ 使得 $\lambda p+\mu q$ 为 $\mathbb{C}[t]$ 中的平方式, 但是 $p$ 和 $q$ 不全是复数.）

并在那些使结论不成立的偶对中选取 $p,q$ 使得 $\max\{\deg p,\deg q\}$ 最小. (由于多项式次数至少为1, 故这个总是可以做到, 并且 $\max\{\deg p,\deg q\}\geqslant 1$.)

假设有四个不同的比值 $\lambda/\mu$, 或者写成配对 $(\lambda,\mu)$, 分别为 $(1,0)$, $(0,1)$, $(1,-1)$, $(1,-\delta)$, (这里 $\delta\neq -1$.) 使得

\[
p,\quad q,\quad p-q,\quad p-\delta q\in\mathbb{C}[t]
\]

为平方式. 因此不妨设 $p=u^2$, $q=v^2$, 其中 $u,v$ 互素. 于是有

\[
\max\{\deg u,\deg v\}<\max\{\deg p,\deg q\}
\]

由于 

\[
\begin{pmatrix}
p-q\\
p-\delta q
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & -1\\
1 & -\delta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p\\
q
\end{pmatrix}
\]

故 $p-q$ 与 $p-\delta q$ 互素.

另一方面, 

\[
\begin{aligned}
p-q&=u^2-v^2=(u+v)(u-v),\\
p-\delta q&=u^2-\delta v^2=(u-\beta v)(u+\beta v),
\end{aligned}
\]

其中 $\beta^2=\delta$. 所以 $u-v$, $u+v$, $u-\beta v$, $u+\beta v$ 都是 $\mathbb{C}[t]$ 中的平方式. 于是我们得到了另一组满足引理条件但不满足结论的例子. (即配对 $u$, $v$, 以及上面四个不同的比值.) 而它们的最大次数小于 $p,q$ 的最大次数. 这与 $p,q$ 的最小性矛盾. 故 $p,q\in\mathbb{C}$.