Questions in category: 度量几何 (Metric Geometry)

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## 1. 三维欧氏空间中的单位球, 如果去掉中心, 则可以分裂为四个不相交的子集. 通过旋转可以重新组合成两个这样的去心单位球.

Posted by haifeng on 2020-09-18 17:59:11 last update 2020-09-18 21:23:22 | Answers (0) | 收藏

$B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 0 < x^2+y^2+z^2\leqslant 1\}$

Q. 如何构造这四个野集? 通过怎样的旋转?

1.7 Hausdorff Measure and Dimension

Let $B$ denote a unit ball in $\mathbb{R}^3$ with its center removed. Then $B$ can be split into four disjoint subsets, which can be rearranged (by means of rotations) so as to form two copies of $B$.

These four subsets are in fact extremely wild sets.

## 2. [Def]极小体积

Posted by haifeng on 2020-07-19 07:31:18 last update 2020-07-19 10:05:43 | Answers (0) | 收藏

[翻译]

$\mathrm{MinVol}(M^n)=\inf\{\mathrm{Vol}(M,g)\mid g\in\mathcal{R}(M)\}.$

$\mathrm{Vol}(M,\lambda g)=\lambda^{\frac{n}{2}}\mathrm{Vol}(M,g)$

M. Gromov 证明了极小体积的几个重要性质, 并给出了它与其他不变量(比如 Simplicial Volumn)之间的若干联系.

Prop. 若紧致流形 $M$ 具有负截面曲率的黎曼度量, 则必有 $\mathrm{MinVol}(M) > 0$.

2 维流形的极小体积问题基本上完全解决.

Prop. 对于闭连通曲面(或 2 维紧致连通流形), 我们有

$\mathrm{MinVol}(M)=2\pi |\chi(M)|.$

$S^2,\quad mT^2\quad\text{或}\quad mP^2$

$mT^2=T^2\# T^2\#\cdots\# T^2$

$P^2$ (这里实际上是 $\mathbb{R}P^2$) 指实投影空间. $2P^2$ 即克莱因(Klein)瓶.

\begin{aligned} \mathrm{MinVol}(S^2)&=2\pi|\chi(S^2)|=2\pi|2-2g|=2\pi|2-2\cdot 0|=4\pi\\ \mathrm{MinVol}(T^2)&=2\pi|\chi(T^2)|=2\pi|2-2g|=2\pi|2-2\cdot 1|=0\\ \mathrm{MinVol}(mT^2)&=2\pi|\chi(mT^2)|=2\pi|2-2g|=2\pi|2-2\cdot m|=4(m-1)\pi\\ \mathrm{MinVol}(2P^2)&=0 \end{aligned}

### 开的连通曲面

$\mathrm{MinVol}(\mathbb{R}^2)\leqslant(2+2\sqrt{2})\pi,$

### 三维流形

$\mathrm{MinVol}(\mathbb{R}^3)=0,\quad\mathrm{MinVol}(S^3)=0.$

## 3. [arXiv:1302.2354v3] Klee定理的一个简短证明

Posted by haifeng on 2020-07-13 14:14:54 last update 2020-07-14 21:42:10 | Answers (0) | 收藏

https://arxiv.org/pdf/1302.2354.pdf

A Short Proof of Klee's Theorem

Author: John Znazzi

Northern Arizona University
Dept. of Mathematics and Statistics
Flagstaff, AZ 86011
Penn State University Mathematics Dept.
University Park, State College, PA 16802

1959年, Klee 证明了一个凸体 $K$ 是一个多面体(polyhedron)当且仅当它的所有投影是多边形(polygons). 本文提供了该定理在 $\mathbb{R}^3$ 中的一个新的证明.

1. 介绍

【根据凸锥的定义, $0\in C$. 并且若 $\vec{v}\in C$, 则 $-\vec{v}\in C$. 因此凸锥是关于原点中心对称的.

H. Mirkil 在 [2] 中证明了下述定理:

$\pi_{(y,z)}(C)=\{(0,a,b)\ :\ a\in\mathbb{R},\ b > 0\}\cup\{(0,0,0)\}$

References

[1] V. Klee. Some characterizations of convex polyhedra. Acta Mathematica, 102(1959), 79--107.

[2] H. Mirkil. New characterizations of polyhedral cones. Canadian Journal of Mathematics, 9 (1957), 1--4.

## 4. [arXiv:2006.09648v1]关于凸多面体的几个刻画

Posted by haifeng on 2020-07-13 09:04:49 last update 2020-07-13 09:12:48 | Answers (0) | 收藏

https://arxiv.org/abs/2006.09648

On Some Characterizations of Convex Polyhedra

Author: SERGII MYROSHNYCHENKO

1. 介绍

• 对 $K$ 的任意支撑线(supporting line)$\ell$, 存在一平面 $H_{\alpha}\supset\ell$;
• 对所有 $\alpha\in\mathcal{A}$, 交 $K\cap H_{\alpha}$ 是一个 $k$ 维多面体(polytope).

## 5. [arXiv:2007.04516v1] 利用虚拟锥刻画球面: Matsuura 定理的另一个证明.

Posted by haifeng on 2020-07-12 22:17:57 last update 2020-07-12 22:29:31 | Answers (0) | 收藏

https://arxiv.org/pdf/2007.04516.pdf

Author: E. Morales-Amaya, D. J. Verdusco Hernández

（以下仅是翻译。注：作为笔记类型的翻译，可能不会做到逐句还原式的翻译。某些地方可能会加入自己的理解，如果原文写得不是非常清楚的话。原文的版权当然是原作者。以上备注以后不再重复赘述。2020-07-12）

## 6. Metric geometry on arxiv.org

Posted by haifeng on 2020-07-12 21:43:21 last update 2020-07-12 21:43:21 | Answers (0) | 收藏

Metric Geometry on arxiv.org

https://arxiv.org/list/math.MG/recent

## 7. $\inf_{f\in\alpha}\mathrm{dil}(f)$ 为代表 $\alpha$ 的最短闭曲线 $\gamma_0$ 的长度.

Posted by haifeng on 2020-07-05 23:45:34 last update 2020-07-06 22:18:23 | Answers (2) | 收藏

$\mathrm{dil}(f)=\sup_{t\neq t'\\ t,t'\in I}\frac{d(f(t),f(t'))}{d(t,t')}$

$f(t)=\begin{cases} t, & t\in[0,1]\\ 2t-1, & t\in(1,2]\\ 3t-3, & t\in(2,3] \end{cases}$

$f(t)=\begin{cases} e^{i\frac{\pi}{2}t}, & t\in[0,1]\\ e^{i(\pi t-\frac{\pi}{2})}, & t\in(1,2]\\ e^{i\frac{\pi}{2}(t+1)}, & t\in(2,3] \end{cases}$

$\mathrm{dil}(f)=\sup_{t\neq t'\\ t,t'\in I}\frac{d(f(t),f(t'))}{d(t,t')}=\pi$

$h(s)=\begin{cases} e^{i\frac{\pi}{2}3s}, & s\in[0,\frac{1}{3}]\\ e^{i(\pi 3s-\frac{\pi}{2})}, & s\in(\frac{1}{3},\frac{2}{3}]\\ e^{i\frac{\pi}{2}(3s+1)}, & t\in(\frac{2}{3},1] \end{cases}$

$\mathrm{dil}(h)=\sup_{s\neq s'\\ s,s'\in I}\frac{d(h(s),h(s'))}{d(s,s')}=3\pi$

$\mathrm{dil}(h)=\mathrm{dil}(f)\cdot\mathrm{dil}(g).$

$\|\alpha\|=\inf_{f\in\alpha}\mathrm{dil}(f)\cdot\mathrm{vol}(B^1)$

$\mathrm{length}(\gamma)=\int_I |\dot{\gamma}|ds$

$\pi_n(X,x_0)$ 上的群结构

## 8. 固定某个正整数 $n ( > 3)$, 若已知任意凸 $n$ 边形的内角和是 $(n-2)\pi$, 能否证明任意三角形的内角和是 $\pi$？

Posted by haifeng on 2017-05-11 22:31:30 last update 2017-05-11 22:31:30 | Answers (0) | 收藏

## 9. 项武义《基础几何学》

Posted by haifeng on 2017-05-11 22:21:01 last update 2017-05-11 22:29:28 | Answers (0) | 收藏

discussed with Jiuru Zhou

May 11, 2017

## 10. 若 $f:[a,b]\rightarrow X$ 是 Lipschitz 映射, 则函数 $t\mapsto\mathrm{dil}_t(f)$ 是可测的.

Posted by haifeng on 2012-11-28 15:14:27 last update 2012-11-28 15:14:27 | Answers (1) | 收藏

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