度量空间 $(X,d)$ 的下述性质是的等价的:

1. 对任意 $x,y\in X$, 及任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $z\in X$, 使得 \[ \max\{d(x,z),d(z,y)\}\leqslant\frac{1}{2}d(x,y)+\varepsilon. \]
2. 对任意 $x,y\in X$ 以及使得 $r_1+r_2\leqslant d(x,y)$ 的 $r_1,r_2\geqslant 0$, 有\[ d(B(x,r_1),B(y,r_2))\leqslant d(x,y)-r_1-r_2.\]

设 $f:X\rightarrow Y$ 是道路度量空间 $X,Y$ 之间的映射, 令

假设 $A,B$ 是度量空间 $Z$ 中两个子集, 它们的 Hausdorff 距离定义为

度量空间 $(X,d)$ 称为道路度量空间(Path metric space), 如果其中任两点之间的距离等于所有连接这两点的曲线长度的下确界. (也即 $d=d_\ell$)

例子: 欧氏平面是道路度量空间, 而欧氏平面如果去掉某个线段, 则不再是道路度量空间.

设 $X$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个紧子集,

• 若 $\text{distort}(X)<\frac{\pi}{2}$, 则 $X$ 是单连通的;
• 若 $\text{distort}(X)<\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$, 则 $X$ 不仅单连通, 而且存在 $\mathbb{R}^n$ 到 $X$ 的一个(直线)收缩映射.

对于非紧情形是否也有这样的结论? 如果 $X$ 是更一般的道路度量空间的一个紧子集(或非紧但是局部紧), 是否也有相应的结论?

这里 $X$ 的 distortion 是这样定义的.

设 $X$ 是道路度量空间 $A$ 的一个子集, 记 $\text{distort}(X)$ 为 $X$ 上恒同映射 $f:X\rightarrow X$ 关于两个诱导度量的 dilatation, 即

\[\text{distort}(X)=\sup\frac{(\text{length dist})|_X}{\text{dist}|_X}\]

若 $(X,d)$ 是一完备且局部紧的道路度量空间, 则

• 闭球是紧致的, 或等价地, 每个有界闭区域是紧致的;
• 任两点可由一条最短测地线相连.