Questions in category: 度量几何 (Metric Geometry)

<[1] [2] [3] [4] [5] >

## 11. [Def]度量空间之间映射的 $L_q$-dilation

Posted by haifeng on 2012-10-17 13:06:33 last update 2012-10-17 13:44:49 | Answers (0) | 收藏

$\|\text{dil}^* f\|_{L_q(\mu)}:=\biggl(\int_{\mathcal{L}/\text{const}}\text{Lip}^q(\ell\circ f)d_\mu\ell\biggr)^{1/q}$

let $\mu$ be supported on the $n$ orthogonal projections (modulo constants) of $\mathbb{R}^n$ onto the coordinate axes with equal weight 1 assigned to all projections.

$\begin{split} \|\text{dil}^* f\|_{L_2(\mu)}&=\biggl(\int_{\mathcal{L}/\text{const}}\text{Lip}^2(\ell\circ f)d_\mu\ell\biggr)^{1/2}\\ &=\biggl(\sum_{i=1}^m\text{Lip}^2(\ell\circ f)\cdot 1\biggr)^{1/2}\\ &=\sqrt{m} \end{split}$

References:

M. Gromov

1. Hilbert Volume in Metric Spaces, Part 1, May 4, 2011. [pdf]

## 12. [Def]度量空间之间映射的缩放量度(dilatation)

Posted by haifeng on 2012-10-17 11:13:09 last update 2012-10-17 12:59:07 | Answers (1) | 收藏

$\text{dil}(f):=\sup_{x_1,x_2\in X, x_1\neq x_2}\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)}$

$\text{dil}_f(x_1,x_2):=\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)},$

$\text{dil}(f)=\sup_{x_1,x_2\in X, x_1\neq x_2}\text{dil}_f(x_1,x_2).$

$\begin{split} \text{dil}_x(f):=&\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\text{dil}(f|_{B(x,\varepsilon)})\\ =&\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\sup_{s,t\in B(x,\varepsilon),s\neq t}\frac{d_Y(f(s),f(t))}{d_X(s,t)}. \end{split}$

• Lipschitz 的, 如果 $\text{dil}(f) < +\infty$;
• $\lambda$-Lipschitz 的, 如果 $\text{dil}(f)\leqslant\lambda$.

$\text{Lip}(f):=\sup_{B\subset X}\frac{\text{diam}_Y(f(B))}{\text{diam}_X(B)}.$

References:

M. Gromov,

1. Metric structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces.
2. Hilbert Volume in Metric Spaces, Part 1, May 4, 2011. [pdf]

## 13. $n$ 维实向量空间 $\mathbb{R}^n$ 上的距离函数

Posted by haifeng on 2012-07-09 11:58:20 last update 2012-07-09 20:45:19 | Answers (0) | 收藏

$d(x,y):=|x-y|=\biggl(\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2\biggr)^{\frac{1}{2}}.$

$d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z).$

Hint: 利用 Cauchy-Schwarz 不等式.

## 14. 道路度量空间中任两点之间最短测地线的存在性

Posted by haifeng on 2012-03-16 11:43:15 last update 2012-03-16 21:11:01 | Answers (1) | 收藏

Lemma. 设 $(X,d)$ 是一紧致道路度量空间, $a,b\in X$, 则存在一条长度等于 $d(a,b)$ 的曲线连接 $a$ 和 $b$.

## 15. [Exmp]设 $X$ 是 $n$ 维闭可定向流形, $Y=S^n\wedge T^k$, 求 $\#(D)$.

Posted by haifeng on 2011-08-26 15:26:32 last update 2012-03-15 17:49:21 | Answers (1) | 收藏

• 若 $k\geqslant n$, 则 $\#(D)\geqslant 2^{c\'D^n}$, 其中 $c\'=c\'_n(X) > 0$.
• 若 $k < n$, 则 $\#(D)$ 是 $D^{D^k}$ 数量级的, 即存在常数 $c_0,c_1$(依赖于 $n$ 和 $X$), 使得
$(c_0 D)^{(c_0 D)^k}\leqslant\#(D)\leqslant(c_1 D)^{(c_1 D)^k}$

$2^{0.0003D^2}\leqslant\#(D)\leqslant 4^{\pi^2 D^2}.$

## 16. 球覆盖问题

Posted by haifeng on 2011-08-26 10:24:26 last update 2011-08-26 10:57:14 | Answers (1) | 收藏

• 欧氏空间 $\mathbb{E}^{n}$ 中考虑单位球 $B(0,1)$, 现在要用半径为 $\varepsilon$ 的球覆盖 $B(0,1)$, 请问至少需要多少个这样的球?
• 考虑单位球面 $S^n(1)$, 现试用该球面上半径为 $\epsilon$ 的球 $B_\epsilon$ 覆盖此球面, 问至少需要多少个这样的小球?

## 17. Klingenberg-Sakai Conjecture

Posted by haifeng on 2011-07-29 16:01:17 last update 2011-08-01 22:43:38 | Answers (0) | 收藏

## 18. [Exmp]若 $X=S^1$, $Y=S^1\wedge S^1$, 证明 $\#(D)=4\cdot 3^{D-1}$.

Posted by haifeng on 2011-07-28 08:45:28 last update 2011-08-26 15:19:50 | Answers (1) | 收藏

## 19. [Def]($\text{CAT}(\kappa)$ 空间)

Posted by haifeng on 2011-07-27 22:53:35 last update 2014-02-17 15:57:51 | Answers (0) | 收藏

Def($\text{CAT}(\kappa)$ 空间)

References:

Lang, U., and Schroeder, V. Kirszbraun\'s theorem and metric spaces of bounded curvature. Geom. Funct. Anal. 7, 3 (1997), 535–560.

## 20. 【Prop】pointed 道路度量空间之间连续映射同伦类的个数估计

Posted by haifeng on 2011-07-24 10:38:32 last update 2011-08-26 10:46:45 | Answers (2) | 收藏

$\#(D)\leqslant c^{\text{Cap}_{1/(c\'D)}(X)}.$

$\#(D)\leqslant c^{(c\'D)^n}.$ Remark: 应为 $\#(D)\leqslant c^{N_{X,\varepsilon}\cdot(c\'D)^n},$ 其中 $N_{X,\varepsilon}$ 是与 $n$ 维紧致黎曼流形 $X$ 及 $\varepsilon$ 有关的一个数.

<[1] [2] [3] [4] [5] >