1. 设 .
对每个 , 容易证明存在一个映射 , 作为 的万有覆盖提升, 使得 , 且其像 覆盖了 中至少 个标准单位方体. 每一个这样的方体都是 作用在 上从而得到 -环面 的基本域(fundamental domain).
由于 的万有覆盖 等于 在这些方体的中心粘合上一个 -维球面 , 故我们可以对 作 "bubble"(吹泡泡), 即在方体的中心冒出一个泡泡(空心球体). 对于 到 的映射来讲, 至少可以构造出 种不同的映射, 且它们彼此互不同伦(注意到 不能连续收缩到一点). 因此至少有 个互不同伦的映射 . 这些映射的 dilatation 比 稍大, 记为 . (这是因为 比 值域进行了扩张.) 将这些映射投影到 上, 得到 . 但不是所有的映射都是符合要求的. 记住我们所要做的是对 进行有效估计, 所以 dilatation 大于 的那些映射除非将它们缩放至小于等于 , 否则不能计算在内. 由于体积是一定的, 因此 . 故对于那些 dilatation 不超过 的映射进行缩放, 使其 dilatation 小于等于 , 从而 到 符合要求的映射至少有 个.
因此我们断言 .