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问题及解答

[Exmp]设 Xn 维闭可定向流形, Y=SnTk, 求 #(D).

Posted by haifeng on 2011-08-26 15:26:32 last update 2012-03-15 17:49:21 | Edit | Answers (1)

Xn 维闭可定向流形, Yn 维标准球面与 k-维环面 Tk=S1××S1 组成的球束(bouquet), 即 Y=SnTk, 求 #(D).

  • kn, 则 #(D)2c\'Dn, 其中 c\'=c\'n(X)>0.
  • k<n, 则 #(D)DDk 数量级的, 即存在常数 c0,c1(依赖于 nX), 使得
    (c0D)(c0D)k#(D)(c1D)(c1D)k

特别的, 当 X=Sn, 且 kn 时, 有估计 c\'n10n. 如当 n=2 时, 有

20.0003D2#(D)4π2D2.

记号 #(D) 的含义请见问题244.

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Posted by haifeng on 2011-08-27 14:07:01

1. kn.

对每个 D0, 容易证明存在一个映射 f¯0:XRk, 作为 f0:XTk 的万有覆盖提升, 使得 dil(f¯0)D, 且其像 f¯0(X)Rk 覆盖了 Rk 中至少 cDn 个标准单位方体. 每一个这样的方体都是 Zk 作用在 Rk 上从而得到 k-环面 Rk/Zk 的基本域(fundamental domain).

由于 Y 的万有覆盖 Y~ 等于 Rk 在这些方体的中心粘合上一个 n-维球面 Sn, 故我们可以对 f¯0 作 "bubble"(吹泡泡), 即在方体的中心冒出一个泡泡(空心球体). 对于 XY~ 的映射来讲, 至少可以构造出 2cDn 种不同的映射, 且它们彼此互不同伦(注意到 Sn 不能连续收缩到一点). 因此至少有 2cDn 个互不同伦的映射 f~j:XY~. 这些映射的 dilatation 比 D 稍大, 记为 D\'. (这是因为 f~jf¯j 值域进行了扩张.) 将这些映射投影到 Y 上, 得到 fk:XY. 但不是所有的映射都是符合要求的. 记住我们所要做的是对 #(D) 进行有效估计, 所以 dilatation 大于 D 的那些映射除非将它们缩放至小于等于 D, 否则不能计算在内. 由于体积是一定的, 因此 cDn=c\'D\'n. 故对于那些 dilatation 不超过 D\' 的映射进行缩放, 使其 dilatation 小于等于 D, 从而 XY 符合要求的映射至少有 2c\'Dn 个.

因此我们断言 #(D)2c\'Dn.