问题

设 $\mathcal{L}=\mathcal{L}(Y)$ 是通常的 Lipschitz 函数空间. 其中 $Y$ 是度量空间.

令 $\mathcal{L}/\text{const}$ 是 $\mathcal{L}$ 模去加法常数的空间. 即若 $f\in\mathcal{L}$, 则对于任意常数 $a$, 都定义 $f+a\sim f$.

设 $\mu=d_\mu\ell$ 是空间 $\mathcal{L}/\text{const}$ 上的一个 Borel 测度. $X$ 是度量空间. 对于映射 $f:X\rightarrow Y$, 及常数 $1\leqslant q\leqslant+\infty$, 定义 $f$ 的 $L_q$-dilation 为:

\[
\|\text{dil}^* f\|_{L_q(\mu)}:=\biggl(\int_{\mathcal{L}/\text{const}}\text{Lip}^q(\ell\circ f)d_\mu\ell\biggr)^{1/q}
\]

例子:

设 $Y$ 是欧氏空间 $\mathbb{R}^n$,

let $\mu$ be supported on the $n$ orthogonal projections (modulo constants) of $\mathbb{R}^n$ onto the coordinate axes with equal weight 1 assigned to all projections.

也就是说 $\mu$ 对于每个投影 $\text{proj}_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ via $(x_1,\ldots,x_n)\mapsto x_i$ 上的测度是 1. 因此每个等距映射 $f:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n$ 都有

\[
\begin{split}
\|\text{dil}^* f\|_{L_2(\mu)}&=\biggl(\int_{\mathcal{L}/\text{const}}\text{Lip}^2(\ell\circ f)d_\mu\ell\biggr)^{1/2}\\
&=\biggl(\sum_{i=1}^m\text{Lip}^2(\ell\circ f)\cdot 1\biggr)^{1/2}\\
&=\sqrt{m}
\end{split}
\]

注意由于 $f$ 是等距映射, 故 $\ell\circ f$ 的 Lipschitz 常数为 1.

References:

M. Gromov

1. Hilbert Volume in Metric Spaces, Part 1, May 4, 2011. [pdf]