问题

设 $\mathcal{L}=\mathcal{L}(Y)$ 是通常的 Lipschitz 函数空间. 其中 $Y$ 是度量空间.

令 $\mathcal{L}/\text{const}$ 是 $\mathcal{L}$ 模去加法常数的空间. 即若 $f\in \mathcal{L}$, 则对于任意常数 $a$, 都定义 $f+a\sim f$.

设 $\mu =d_{\mu }\ell$ 是空间 $\mathcal{L}/\text{const}$ 上的一个 Borel 测度. $X$ 是度量空间. 对于映射 $f:X\to Y$, 及常数 $1⩽q⩽+\mathrm{\infty }$, 定义 $f$ 的 $L_q$-dilation 为:

$$\Vert {\text{dil}}^{\ast }f{\Vert }_{L_q(\mu )}:=({\int }_{\mathcal{L}/\text{const}}{\text{Lip}}^q(\ell \circ f)d_{\mu }\ell {)}^{1/q}$$

例子:

设 $Y$ 是欧氏空间 ${\mathbb{R}}^n$,

let $\mu$ be supported on the $n$ orthogonal projections (modulo constants) of ${\mathbb{R}}^n$ onto the coordinate axes with equal weight 1 assigned to all projections.

也就是说 $\mu$ 对于每个投影 ${\text{proj}}_i:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ via $(x_1,\dots ,x_n)\mapsto x_i$ 上的测度是 1. 因此每个等距映射 $f:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ 都有

$$\begin{array}{rl}\Vert {\text{dil}}^{\ast }f{\Vert }_{L_2(\mu )}& =({\int }_{\mathcal{L}/\text{const}}{\text{Lip}}^2(\ell \circ f)d_{\mu }\ell {)}^{1/2}\\ & =(\sum _{i=1}^m{\text{Lip}}^2(\ell \circ f)\cdot 1{)}^{1/2}\\ & =\sqrt{m}\end{array}$$

注意由于 $f$ 是等距映射, 故 $\ell \circ f$ 的 Lipschitz 常数为 1.

References:

M. Gromov

1. Hilbert Volume in Metric Spaces, Part 1, May 4, 2011. [pdf]