问题

设 $X,Y$ 是两个度量空间, 映射 $f:X\to Y$ 的 dilatation (缩放量度)定义为

$$\text{dil}(f):=\underset{x_1,x_2\in X,x_1\ne x_2}{sup}\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)}$$

这里 $d_X,d_Y$ 分别指度量空间 $X,Y$ 上的距离函数. 显然 $\text{dil(f)}\in [0,+\mathrm{\infty }]$.

为方便, 定义 $X\times X$ 上的函数 ${\text{dil}}_f$ 为:

$${\text{dil}}_f(x_1,x_2):=\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)},$$

于是,

$$\text{dil}(f)=\underset{x_1,x_2\in X,x_1\ne x_2}{sup}{\text{dil}}_f(x_1,x_2).$$

也可以定义 $f$ 在一点处的局部缩放量度(local dilatation):

$$\begin{array}{rl}{\text{dil}}_x(f):=& \underset{\epsilon \to 0}{lim}\text{dil}(f{|}_{B(x,\epsilon )})\\ =& \underset{\epsilon \to 0}{lim}\underset{s,t\in B(x,\epsilon ),s\ne t}{sup}\frac{d_Y(f(s),f(t))}{d_X(s,t)}.\end{array}$$

映射 $f$ 称为

• Lipschitz 的, 如果 $\text{dil}(f)<+\mathrm{\infty }$;
• $\lambda$-Lipschitz 的, 如果 $\text{dil}(f)⩽\lambda$.

此时称 $\text{dil}(f)$ 为 $f$ 的 Lipschitz 常数. 也记为 $\text{Lip}(f)$.

易见, Lipschitz 常数等价于下面的定义:

$$\text{Lip}(f):=\underset{B\subset X}{sup}\frac{{\text{diam}}_Y(f(B))}{{\text{diam}}_X(B)}.$$

其中 ${\text{diam}}_Y()$ 是指在度量空间 $Y$ 中的直径函数. 上确界是对于取遍 $X$ 中的有界集而言的.

Question: 证明上面两种定义是等价的. (证明见 Answers)

References:

M. Gromov,

1. Metric structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces.
2. Hilbert Volume in Metric Spaces, Part 1, May 4, 2011. [pdf]