问题

在 $n$ 维实向量空间 $\mathbb{R}^n$ 上定义向量之间的距离(或点之间的距离)

\[d(x,y):=|x-y|=\biggl(\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2\biggr)^{\frac{1}{2}}.\]

其中 $x=(x_1,\ldots,x_n)$, $y=(y_1,\ldots,y_n)$.

证明: 函数 $d:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的一个度量, 即满足度量的三个条件, 特别是三角不等式

\[d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z).\]

我们把这个度量称为欧氏度量. 所得的度量空间称为 $n$ 维欧氏空间, 记为 $\mathbb{E}^n=(\mathbb{R}^n,d)$.

Hint: 利用 Cauchy-Schwarz 不等式.