问题

设 $X$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个紧子集,

• 若 $\text{distort}(X)<\frac{\pi}{2}$, 则 $X$ 是单连通的;
• 若 $\text{distort}(X)<\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$, 则 $X$ 不仅单连通, 而且存在 $\mathbb{R}^n$ 到 $X$ 的一个(直线)收缩映射.

对于非紧情形是否也有这样的结论? 如果 $X$ 是更一般的道路度量空间的一个紧子集(或非紧但是局部紧), 是否也有相应的结论?

这里 $X$ 的 distortion 是这样定义的.

设 $X$ 是道路度量空间 $A$ 的一个子集, 记 $\text{distort}(X)$ 为 $X$ 上恒同映射 $f:X\rightarrow X$ 关于两个诱导度量的 dilatation, 即

\[\text{distort}(X)=\sup\frac{(\text{length dist})|_X}{\text{dist}|_X}\]