问题及解答

https://arxiv.org/abs/2006.09648

On Some Characterizations of Convex Polyhedra

关于凸多面体的几个刻画

Author: SERGII MYROSHNYCHENKO

摘要: 

本文利用对凸体(convex body)的截面和投影给出了凸体成为多面体的两个充分条件.

1. 介绍

定理 A. 设 $K$ 是 $d$ 维($d\geqslant 3$) 欧氏空间 $\mathbb{E}^d$ 中的一个凸体, $\{H_{\alpha}\}_{\alpha\in\mathcal{A}}$ 是一族 $k$ 维平面, 此处 $2 < k < d-1$. 所有这些平面相交在 $K$ 的内部, 且满足:

• 对 $K$ 的任意支撑线(supporting line)$\ell$, 存在一平面 $H_{\alpha}\supset\ell$;
• 对所有 $\alpha\in\mathcal{A}$, 交 $K\cap H_{\alpha}$ 是一个 $k$ 维多面体(polytope).

则 $K$ 是一个多面体(polytope).