问题

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$, 且当 $x < 0$ 时, $f(x)=2^x$. 对任意 $x_0\in\mathbb{R}$, 定义集合

\[
D(x_0)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(x_0+d) > f(x_0)\}.
\]

(1) 若当 $x\geqslant 0$ 时, $f(x)=1-x$, 求 $D(-1)$;

(2) 若 $f(x)$ 是奇函数, $f(x_1)\leqslant f(x_2)$, 且 $x_1 x_2\neq 0$, 证明: $D(x_2)\subset D(x_1)$;

(3) 设 $f(x)$ 满足 : (a) 若 $f(x_1)\leqslant f(x_2)$, 则 $D(x_2)\subset D(x_1)$; (b) 当 $0 < x < 1$ 时, $f(x) < f(0)$.
    (i) 证明: $f(0)\geqslant 1$;
    (ii) 证明: $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 单调递增.