四顶点定理(Four Vertex Theorem)是整体微分几何中最早几个经典定理之一. 对于平面上除圆之外的简单闭曲线, 若将曲率函数的极值点定义为顶点, 则这样的曲线至少存在四个顶点.

1909年 Syamadas Mukhopadhyaya 对平面上的严格凸曲线证明了此结果.\cite{Chern-Chen}附录中给出了 G. Herglotz 的证明. 这个定理对于简单闭的非凸曲线也成立. 1912年 Adolf Kneser 证明了此结论对于平面上所有简单闭曲线都成立.

四顶点的逆命题说的是圆周上任一连续实值函数如果至少有两个极大值和两个极小值, 则它可以成为平面上某条简单闭曲线的曲率函数.

1971年 Herman Gluck 对于严格正曲率的情形证明了此结果. 1997年 Bj\"{o}rn Dahlberg 证明了所有情况, 不必限制曲率严格为正. 1998年1月 Dahlberg 突然去世, 他的文章也因此推迟发表. 最终 Vilhelm Adolfsson 和 Peter Kumlin 整理了 Dahlberg 的文章并于 2005年出版.

四顶点定理已经被推广到球面以及更一般的凸曲面上的空间曲线. 也就是, $\mathbb{R}^3$ 中的一条光滑闭曲线如果位于某个凸曲面上, 则至少存在四个顶点.

参考文献

[1] Four Vertex Theorem (arxiv.org) [pdf]

[2] https://research.shanghai.nyu.edu/centers-and-institutes/math/events/four-vertex-theorem-space-curves

Thm(Mostow 刚性定理) 两个 $n$ 维($n\geqslant 3$) 可定向闭的连通双曲流形之间的同伦等价实际上同伦于一个等距同构.

这个定理最初是 Mostow 证明的, Gromov 给出了另一个证明, 其中引入了 simplicial volume, 后来被称为 Gromov 范数. 

References:

Clara Strohm,  The proportionality principle of simplicial volume, [arXiv:0504106]

证明 $S^2$ 在 $\mathbb{R}^4$ 中的管状邻域同胚于复射影丛.

$S^2$ 在 $\mathbb{R}^4$ 中的管状邻域为

\[
T=\{([z_0,z_1],z_2)\mid (z_0,z_1)\in\mathbb{C}^2-\{0\},\ |z_2|\leqslant 1\}
\]

换言之, $T$ 是 $\mathbb{C}^3$ 中所有过 $z_2$ 轴的平面所构成的集合.

Remark: 题目来源于基础数学研究群.

The Poincaré Conjecture

John Milnor

poincare.pdf (claymath.org)

http://www.claymath.org/sites/default/files/poincare.pdf

1.  介绍

二维流形或曲面的拓扑在19世纪已经了解得很充分了. 事实上, 所有可能的光滑紧致可定向曲面都可以被列举出来. 任意这样一个曲面具有亏格 $g\geqslant 0$, 亏格可以被直观地描述为洞的个数; 并且两个具有相同亏格的曲面可以光滑地一一对应起来. 

但是高维的相应问题要困难得多.

Henri Poincaré 也许是第一个尝试对三维流形进行类似研究的数学家. 最基本的三维流形是三维单位球面, 即四维欧氏空间中到原点距离恒为 1 的点的轨迹, 可以用方程 $x^2+y^2+z^2+w^2=1$ 表示. 他注意到二维球面的一个特殊性质是球面上任意一个简单闭曲线都可以连续形变为一个点而不离开球面. 1904年, 他问了关于三维球面一个对应问题. 用更为现代的语言, 可以表述如下:

问题: 如果一个紧致三维流形 $M^3$ 中每条简单闭曲线都可以在内部连续形变为一个点, 是否可推出 $M^3$ 同胚于三维球面 $S^3$?

他相当有远见地评论道, "Mais cette question nous entraînerait trop loin." （但这个问题会让我们走得很远.）从那时起, 每个单连通的闭三维流形同胚于三维球面这一假设就成为了著名的 Poincaré conjecture.  从此, 拓扑学家受此问题启发, 并尝试去证明, 由此导致我们对流形拓扑的理解进步许多.

最初, 庞加莱猜想叙述之简单明了以至数学家们过分自信. 四年后, 也就是 1900 年, Poincaré 本人就成为第一个犯错的人, 他叙述了一个错误的定理, 表述如下.

错误定理.  每个紧致多面体流形若具有 $n$ 维球面的同调群, 则实际上同胚于 $n$ 维球面.

/* 该定理所表示的意思为:

* 设 $M^n$ 是多面体流形, 若 $H_k(M^n)\cong H_k(S^n)$, $\forall\ k=0,1,2,\ldots,n$. 则 $M^n$ 同胚于 $S^n$.

* 所谓的多面体流形 , 是指流形中的每个点实际上是多面体. 

*/

但是他1904年的一篇文章使用之前介绍过的基本群(fundamental group)概念为上述断言提供了一个漂亮的反例. 

这个反例可以用几何方式如下描述.

注:

这篇文章已经有翻译了, 见 [1] 第六章.

References:

佩捷、李莹英、郭梦舒 编著,  从庞加莱到佩雷尔曼 --庞加莱猜想的历史

设 $M$ 是单连通、完备的 $n$ 维 Riemann 流形.

计算 $\Delta e^{-K\rho(x)}$, 这里 $\Delta$ 是 Laplace 算子, $\rho(x)$ 是相对于某固定基点 $O\in M$ 的距离函数.

参见 [1], P. 42.

References:

[1] 丘成桐、孙理察  著  《微分几何讲义》

定理. 设 $M$ 是完备 Riemann 流形, 则存在热核 $H(x,y,t)\in C^{\infty}(M\times M\times\mathbb{R}^+)$, 使

\[
(e^{\Delta t}f)(x)=\int_M H(x,y,t)f(y),\quad\forall\ f\in L^2(M),
\]

满足:

1. $H(x,y,t)=H(y,x,t)$,
2. $\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}H(x,y,t)=\delta_x(y)$,
3. $(\Delta-\frac{\partial}{\partial t})H=0$,
4. $H(x,y,t)=\int H(x,z,t-s)\cdot H(z,y,s)\mathrm{d}z$

Remark:

从字面意思, “热核函数”与热方程有关, 事实上就是指热方程的基本解(heat kernel).

对于 $\mathbb{R}^n$, 热方程 $(\Delta-\frac{\partial}{\partial t})u=0$ 的基本解是

\[
\exp(-\frac{r^2}{4t})/(4\pi t)^{\frac{n}{2}}
\]

Chern-Griffiths 定理

设 $X$ 是 $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^{n+1}$ 中的一个度为 $d$ 的非奇异曲面, 其不包含在任何超平面中.

(1) 若 $d < 2n$, 则 $p_g(X)=0$.

(2) 若 $d=2n$, 则或者 $p_g(X)=0$,
                      或者 $p_g(X)=1$ 且 $X$ 是一个 $K3$ 曲面.

[Hint] 用一个超平面取切 $X$, 然后利用 Clifford 定理. 对于最后一个问题, 在 $X$ 上利用 Riemann-Roch 定理以及 Kodaira 消灭定理(Kodaira vanishing theorem).

[原文]

Prove the following theorem of Chern and Griffiths.

Let $X$ be a nonsingular surface of degree $d$ in $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^{n+1}$, which is not contained in any hyperplane.

If $d < 2n$, then $p_g(X)=0$. if $d=2n$, then either $p_g(X)=0$, or $p_g(X)=1$ and $X$ is a $K3$ surface.

[Hint: Cut $X$ with a hyperplane and use Clifford's theorem (IV, 5.4). For the last statement, use Riemann-Roch theorem on $X$ and the Kodaira vanishing theorem (III, 7.15).]

二维曲面上一点称为脐点(umbilical points), 如果在这点的局部是 spherical 的, 也就是说这样的点处, 所有方向的法曲率(normal curvatures)都是相等的. 因此, 两个主曲率是相等的, 并且每个切向量都是主方向(principal direction).

对于亏格为 0 的曲面, 比如椭球面, 根据 Poincaré-Hopf 定理, 至少有 4 个脐点.

Open problem

是否欧式空间中每个光滑的拓扑球面至少有两个脐点?

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Umbilical_point

LeBrun 证明了 $S^6$ 上没有复结构与度量 $g$ 相容.

References:

C. LeBrun, Orthogonal complex structures on $S^6$, Proceedings of the AMS 101 (1987), 136–138. MR0897084

设 $\Gamma$ 是三维欧氏空间中一张平面上的一条抛物线, $\ell$ 是 $\Gamma$ 的准线. 将 $\Gamma$ 绕其准线 $\ell$ 旋转一周, 得到旋转面 $S$. 求 $S$ 的两个主曲率的比值.