问题及解答

定理. 设 $M$ 是完备 Riemann 流形, 则存在热核 $H(x,y,t)\in C^{\infty}(M\times M\times\mathbb{R}^+)$, 使

\[
(e^{\Delta t}f)(x)=\int_M H(x,y,t)f(y),\quad\forall\ f\in L^2(M),
\]

满足:

1. $H(x,y,t)=H(y,x,t)$,
2. $\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}H(x,y,t)=\delta_x(y)$,
3. $(\Delta-\frac{\partial}{\partial t})H=0$,
4. $H(x,y,t)=\int H(x,z,t-s)\cdot H(z,y,s)\mathrm{d}z$

Remark:

从字面意思, “热核函数”与热方程有关, 事实上就是指热方程的基本解(heat kernel).

对于 $\mathbb{R}^n$, 热方程 $(\Delta-\frac{\partial}{\partial t})u=0$ 的基本解是

\[
\exp(-\frac{r^2}{4t})/(4\pi t)^{\frac{n}{2}}
\]