问题及解答

定理. 设 $M$ 是完备 Riemann 流形, 则存在热核 $H(x,y,t)\in C^{\mathrm{\infty }}(M\times M\times {\mathbb{R}}^{+})$, 使

$$(e^{\mathrm{\Delta }t}f)(x)={\int }_{M}H(x,y,t)f(y),\mathrm{\forall }f\in L^2(M),$$

满足:

1. $H(x,y,t)=H(y,x,t)$,
2. $\underset{t\to 0^{+}}{lim}H(x,y,t)={\delta }_x(y)$,
3. $(\mathrm{\Delta }-\frac{\partial }{\partial t})H=0$,
4. $H(x,y,t)=\int H(x,z,t-s)\cdot H(z,y,s)\mathrm{d}z$

Remark:

从字面意思, “热核函数”与热方程有关, 事实上就是指热方程的基本解(heat kernel).

对于 ${\mathbb{R}}^n$, 热方程 $(\mathrm{\Delta }-\frac{\partial }{\partial t})u=0$ 的基本解是

$$\exp (-\frac{r^2}{4t})/(4\pi t{)}^{\frac{n}{2}}$$