问题及解答

四顶点定理(Four Vertex Theorem)是整体微分几何中最早几个经典定理之一. 对于平面上除圆之外的简单闭曲线, 若将曲率函数的极值点定义为顶点, 则这样的曲线至少存在四个顶点.

1909年 Syamadas Mukhopadhyaya 对平面上的严格凸曲线证明了此结果.\cite{Chern-Chen}附录中给出了 G. Herglotz 的证明. 这个定理对于简单闭的非凸曲线也成立. 1912年 Adolf Kneser 证明了此结论对于平面上所有简单闭曲线都成立.

四顶点的逆命题说的是圆周上任一连续实值函数如果至少有两个极大值和两个极小值, 则它可以成为平面上某条简单闭曲线的曲率函数.

1971年 Herman Gluck 对于严格正曲率的情形证明了此结果. 1997年 Bj\"{o}rn Dahlberg 证明了所有情况, 不必限制曲率严格为正. 1998年1月 Dahlberg 突然去世, 他的文章也因此推迟发表. 最终 Vilhelm Adolfsson 和 Peter Kumlin 整理了 Dahlberg 的文章并于 2005年出版.

四顶点定理已经被推广到球面以及更一般的凸曲面上的空间曲线. 也就是, $\mathbb{R}^3$ 中的一条光滑闭曲线如果位于某个凸曲面上, 则至少存在四个顶点.

参考文献

[1] Four Vertex Theorem (arxiv.org) [pdf]

[2] https://research.shanghai.nyu.edu/centers-and-institutes/math/events/four-vertex-theorem-space-curves