Title: Min-Max Theory and the Willmore Conjecture

Author(s): Fernando C. Marques and André Neves

1. 介绍

浸入到三维欧氏空间中的闭曲面 $\mathrm{\Sigma }$, 其最基本的几何不变量是 Gauss 曲率 $K$ 和平均曲率 $H$. 它们在微分几何的最开始就被研究过了. 根据 Gauss-Bonnet 定理, Gauss 曲率的全积分是一个拓扑不变量. 而平均曲率平方的全积分, 即著名的 Willmore 能量, 也是非常有趣的, 因为它在 ${\mathbb{R}}^3$ 的共形变换下是不变的 [6,43]. Blaschke [6] 和 Thomsen [38] 在1920s 就知道这个事实了(也可参见[43]).

Willmore 能量很自然地出现在某些物理背景中, 有时称为 bending energy. 比如为描述弹性壳(elastic shells), Poisson [31] 在 1812 年提出了弯曲能量, 随后是 Germain [13]. 在生物数学中也有弯曲能量的例子, 它出现在 Helfrich 模型 [15] 中, 贡献了细胞膜能量的某一项.

如果我们固定 $\mathrm{\Sigma }$ 的拓扑型(topological type), 并问 $\mathrm{\Sigma }$ 在 ${\mathbb{R}}^3$ 中的最优浸入是什么? 很自然我们会在几何变分问题的解中去寻找答案.

1.1 Willmore Conjecture (1965, [44])

浸入在 ${\mathbb{R}}^3$ 中的环面, 其上平均曲率平方的全积分至少为 $2{\pi }^2$. 若记 $\mathrm{\Sigma }$ 是环面 $T^2$ 在 ${\mathbb{R}}^3$ 中的浸入, 则

$${\int }_{\mathrm{\Sigma }}{H}^{2}d\mathrm{\Sigma }\ge 2{\pi }^2$$

等号可在下述情况下取得. 考虑 ${\mathbb{R}}^3$ 中由位于 xoz 平面内中心在 $(\sqrt{2},0,0)$ 半径为 $1$ 的圆围绕 $z$ 轴旋转一周得到的环面. 即

$$(u,v)\mapsto ((\sqrt{2}+\cos u)\cos v,(\sqrt{2}+\cos u)\sin v,\sin u)\in {\mathbb{R}}^3$$

这个环面也可以看作 Clifford 环面 $S^1(\frac{1}{\sqrt{2}})\times S^1(\frac{1}{\sqrt{2}})\subset S^3$ 到 ${\mathbb{R}}^3$ 中的球极投影 (参见$S^3$ 中 Clifford 球面的球极投影).

References

[6]

[43]

On February 27, 2012, Fernando Codá Marques and André Neves announced a complete proof of the Willmore conjecture on a preprint posted to arxiv.org, using the min-max theory of minimal surfaces.

下面是我的笔记. (Here is my notes on this article in Chinese.)

Title: Min-Max Theory and the Willmore Conjecture

Author(s): Fernando C. Marques and André Neves

摘要

1965年, T. J. Willmore 给出了一个猜想, 对于浸入 ${\mathbb{R}}^3$ 中的环面, 其平均曲率的平方在环面上的积分至少为 $2{\pi }^2$. 我们使用极小曲面的 min-max 理论来证明这个猜想.

目录

1. 介绍

2. 主要思想及论文的组织

Part I. Willmore 猜想的证明

3. Canonical family: First properties

4. Definitions from Geometric Measure Theory

5. Canonical family:Boundary blow-up

6. Min-max family

7. Almgren-Pitts Min-Max Theory I

8. Almgren-Pitts Min-Max Theory II

9. Lower bound on width

10. 定理 B 的证明

11. 定理 A 的证明

Part II. Technical work

12. No area concentration

13. Interpolation results: Continuous to discrete

14. Interpolation results: Discrete to Continuous

15. Pull-tight

Appendix A.

Appendix B.

Appendix C.

References