(1)

\[
A=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 6\\
1 & 2 & 3\\
1 & 4 & 9
\end{pmatrix}
\]

(2)

\[
B=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 0\\
2 & 1 & 4 & 3\\
3 & 3 & 5 & 3\\
7 & 5 & 13 & 9
\end{pmatrix}
\]

(3)

\[
C=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 & 1\\
0 & 2 & 1 & 5 & -1\\
2 & 0 & 3 & -1 & 3\\
1 & 1 & 0 & 4 & -1\\
\end{pmatrix}
\]

(4)

\[
D=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 & 0\\
7 & 0 & 14 & 3\\
2 & -1 & 0 & 1\\
5 & 1 & 6 & 2\\
2 & -1 & 4 & 1
\end{pmatrix}
\]

题目参见 [1] pp.78

[1]  陈建华  主编  《线性代数》  机械工业出版社.

设 $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$, 

\[
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\
\end{pmatrix}
\]

写出求 $\mathrm{rank}(A)$ 的具体步骤.

设 $A$ 是 $n$ 阶幂等矩阵, 即满足 $A^2=A$. 证明:

• (1) $\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(I_n-A)=n$.
• (2) $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{tr}(A)$. 其中 $\mathrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$, 称为矩阵 $A$ 的迹(trace).

(1)

\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
2 & 4
\end{pmatrix}
\]

(2)

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 0\\
-3 & 2 & -5
\end{pmatrix}
\]

(3)

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
2 & 4 & 3\\
5 & 2 & -1
\end{pmatrix}
\]

解答见 https://www.bilibili.com/video/BV11u4y1R7iJ/

题目来自[1] pp.76 Exer 2-6

[1] 陈建华  主编  《线性代数》

(1)

\[
\begin{pmatrix}
a & b & c\\
c & b & a\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & a & c\\
1 & b & b\\
​1 & c & a
\end{pmatrix}
\]

题目见 [1] P.132

[1]  李炯生, 查建国  编著 《线性代数》

梅兹内矩阵(Metzler Matrix)

$GL_3(\mathbb{F}_3)$ 中有多少个矩阵?

即由数字 0,1,2 组成的 $3\times 3$ 矩阵中, 可逆的有多少个?

若令 $X_3=\{A\in F^{3\times 3}\mid \det(A)=0\}$, 这里 $F=\mathbb{F}_3$. 问 $X$ 中含有多少个元素?

References:

https://www.zhihu.com/question/508137995

设 $A,B$ 为半正定(positive semidefinite)矩阵, 根据 Jensen 不等式, 有

\[
\Bigl[\mathrm{tr}(A^s+B^s)\Bigr]^{\frac{1}{s}}\leqslant \Bigl[\mathrm{tr}(A^r+B^r)\Bigr]^{\frac{1}{r}},\quad\forall\ s > r > 0.
\]

设 $A$, $B$ 分别为 $m\times n$, $n\times m$ 型矩阵, 且 $AB$ 对称, 问 $BA$ 是否对称?

如果无法推出 $BA$ 对称, 请举几个反例. 并且是否可加一些条件, 使得 $BA$ 对称?

[Ans]

答案显然是否定的.

最简单的例子: 令

\[A=\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}.\]

于是

\[
AB=\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}=1\times 3+2\times 4=11,
\]

\[
BA=\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 6\\ 4 & 8\end{pmatrix},
\]

其中 $BA$ 不是对称矩阵.

设 $A$, $B$ 分别为 $m\times n$, $n\times m$ 型矩阵, 证明: $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$.

(即 $AB$ 和 $BA$ 的迹相等, $tr(AB)=tr(BA)$.)