设 $n$ 是正整数, $A,B$ 是 $n$ 阶复矩阵, 满足 $AB+A=BA+B$. 求证: $(A-B)^n=0$.

注:  此题为2023年10月一试清华新领军第3题.

(1)  设 $A$ 为实对称矩阵, $\lambda=\min_{|v|=1, v\in\mathbb{R}^n}\langle Av,v\rangle$. 求证: $\lambda$ 是 $A$ 的最小特征值.

(2)  设 $C=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)^T\mid x_i\geqslant 0, i=1,2,\ldots,n\}$. 求证: 对任意一个 $n$ 元列向量 $u$, 存在 $v,w\in C$, 满足 $\langle v,w\rangle=0$, $u=v-w$.

(3)  设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是实对称矩阵, 满足对任意 $1\leqslant i,j\leqslant n$, $i\neq j$, 有 $a_{ij} < 0$, 且对任意的非零向量 $v\in C$, $-Av\not\in C$. 求证: $A$ 是正定矩阵.

设 $A$ 是一个 $2021\times 2021$ 的矩阵, 其主对角线上的元素均为 $0$, 且每行恰有 $1010$ 个 $1$ 和 $1010$ 个 $-1$, 求 $\mathrm{rank}(A)$ 的所有可能值.

定理. Hermite 矩阵与实对称矩阵的特征值都是实数.

[Hint]  利用 Hirsch 定理证明.

设 $A=\begin{pmatrix}-2 & -2 & 6\\ -1 & -1 & 3\\ -1 & -1 & 3\end{pmatrix}$, $C(A)=\{B\in\mathbb{C}^{3\times 3}\mid AB=BA\}$.

(1)  求 $A$ 的若当标准形.

(2)  求复线性空间 $C(A)$ 的维数.

(1)

\[
A=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 6\\
1 & 2 & 3\\
1 & 4 & 9
\end{pmatrix}
\]

(2)

\[
B=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 0\\
2 & 1 & 4 & 3\\
3 & 3 & 5 & 3\\
7 & 5 & 13 & 9
\end{pmatrix}
\]

(3)

\[
C=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 & 1\\
0 & 2 & 1 & 5 & -1\\
2 & 0 & 3 & -1 & 3\\
1 & 1 & 0 & 4 & -1\\
\end{pmatrix}
\]

(4)

\[
D=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 & 0\\
7 & 0 & 14 & 3\\
2 & -1 & 0 & 1\\
5 & 1 & 6 & 2\\
2 & -1 & 4 & 1
\end{pmatrix}
\]

题目参见 [1] pp.78

[1]  陈建华  主编  《线性代数》  机械工业出版社.

设 $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$, 

\[
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\
\end{pmatrix}
\]

写出求 $\mathrm{rank}(A)$ 的具体步骤.

Def(幂等矩阵) 一个 $n$ 阶复矩阵 $A$ 若满足 $A^2=A$, 则称其为 $n$ 阶幂等矩阵.

易见, $A_n$ 幂等当且仅当 $I_n-A_n$ 幂等. 

命题. 设 $A$ 是 $n$ 阶幂等矩阵, 即满足 $A^2=A$. 则

• (1) $\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(I_n-A)=n$.
• (2) $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{tr}(A)$. 其中 $\mathrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$, 称为矩阵 $A$ 的迹(trace).

(1)

\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
2 & 4
\end{pmatrix}
\]

(2)

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 0\\
-3 & 2 & -5
\end{pmatrix}
\]

(3)

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
2 & 4 & 3\\
5 & 2 & -1
\end{pmatrix}
\]

解答见 https://www.bilibili.com/video/BV11u4y1R7iJ/

题目来自[1] pp.76 Exer 2-6

[1] 陈建华  主编  《线性代数》