问题及解答

Title: Min-Max Theory and the Willmore Conjecture

Author(s): Fernando C. Marques and André Neves

1. 介绍

浸入到三维欧氏空间中的闭曲面 $\Sigma$, 其最基本的几何不变量是 Gauss 曲率 $K$ 和平均曲率 $H$. 它们在微分几何的最开始就被研究过了. 根据 Gauss-Bonnet 定理, Gauss 曲率的全积分是一个拓扑不变量. 而平均曲率平方的全积分, 即著名的 Willmore 能量, 也是非常有趣的, 因为它在 $\mathbb{R}^3$ 的共形变换下是不变的 [6,43]. Blaschke [6] 和 Thomsen [38] 在1920s 就知道这个事实了(也可参见[43]).

Willmore 能量很自然地出现在某些物理背景中, 有时称为 bending energy. 比如为描述弹性壳(elastic shells), Poisson [31] 在 1812 年提出了弯曲能量, 随后是 Germain [13]. 在生物数学中也有弯曲能量的例子, 它出现在 Helfrich 模型 [15] 中, 贡献了细胞膜能量的某一项.

如果我们固定 $\Sigma$ 的拓扑型(topological type), 并问 $\Sigma$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中的最优浸入是什么? 很自然我们会在几何变分问题的解中去寻找答案.

1.1 Willmore Conjecture (1965, [44])

浸入在 $\mathbb{R}^3$ 中的环面, 其上平均曲率平方的全积分至少为 $2\pi^2$. 若记 $\Sigma$ 是环面 $T^2$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中的浸入, 则

\[\int_\Sigma H^2 d\Sigma\geq 2\pi^2\]

等号可在下述情况下取得. 考虑 $\mathbb{R}^3$ 中由位于 xoz 平面内中心在 $(\sqrt{2},0,0)$ 半径为 $1$ 的圆围绕 $z$ 轴旋转一周得到的环面. 即

\[(u,v)\mapsto\bigl((\sqrt{2}+\cos u)\cos v, (\sqrt{2}+\cos u)\sin v, \sin u\bigr)\in\mathbb{R}^3\]

这个环面也可以看作 Clifford 环面 $S^1(\frac{1}{\sqrt{2}})\times S^1(\frac{1}{\sqrt{2}})\subset S^3$ 到 $\mathbb{R}^3$ 中的球极投影 (参见$S^3$ 中 Clifford 球面的球极投影).

References

[6]

[43]