问题及解答

Euler 定理的证明 (by L. E. Dickson)

设 $N$ 是一个偶完全数, $N=2^{n-1}F$. 这里 $n > 1$, $F$ 是奇数. 令 $\Sigma$ 为 $F$ 的所有正因子(注意包含自身)之和. 则 $N$ 的正因子包含 $F$ 的所有这些奇因子和他们的 2倍、4倍、... $2^{n-1}$ 倍. 并且没有其他的正因子了.

由于 $N$ 是完全数, 故

\[
N=2^{n-1}F=(1+2+4+\cdots+2^{n-1})\Sigma-N.
\]

即

\[
2N=2^n F=(2^n-1)\Sigma.
\]

因此,

\[
\Sigma=\frac{2^n F}{2^n-1}=F+\frac{F}{2^n-1}.\tag{*}
\]

由于 $\Sigma$ 和 $F$ 都是整数, 故 $\frac{F}{2^n-1}$ 必须是整数, 于是 $(2^n-1)|F$, 即 $F/(2^n-1)$ 是 $F$ 的一个因子. 由假设 $\Sigma$ 是 $F$ 的所有正因子之和, 故从 (*) 可知 $F/(2^n-1)$ 只能是 1. 也就是说 $F=2^n-1$. 且 $F$ 除了自身和 1 之外别无其他正因子, 故 $2^n-1$ 是素数.

Reference:

Shanks Daniel, Solved and unsolved problems in Number Theory.