问题及解答

定理. (Euler) $\triangle ABC$ 中的外心、垂心、重心三点一线.

这条线被称为欧拉线(Euler line).

具体的, 如上图, $\triangle ABC$ 中, $BD$ 和 $AH_1$ 分别是边 $AC$、$BC$ 上的高, 它们相交于点 $H$, 即 $H$ 为垂心.

$O$ 是 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心, 即外心. $O_1$ 是 $BC$ 中点. 连接 $AO_1$, 与 $OH$ 交于点 $X$. 证明: $X$ 是 $\triangle ABC$ 的重心(即三条中线的交点).

参考自 [2].

References:

[1] Roger. A. Johnson,  Modern Geometry.   Houghton Mifflin, 1929.

[2] R. A.  约翰逊  著,  单墫  译  《近代欧氏几何学》.

Pf.  $OO_1\perp BC$, 于是 $OO_1\parallel AH$, 从而 $\triangle AHX\sim\triangle O_1 OX$.

$X$ 在中线 $AO_1$ 上, 要证 $X$ 是重心, 只需证明 $|AX|:|O_1 X|=2:1$.  为此, 我们证明 $|AH|=2|OO_1|$.

连接 $BO$ 并延长交外接圆于点 $E$, 连接 $CE$, 则 $CE\perp BC$.  $BE$ 是外接圆直径, 因此 $AE\perp AB$, 而 $CH\perp AB$, 故 $AE\parallel CH$. 因此 $AHCE$ 是平行四边形, 于是

\[|AH|=|CE|=2|OO_1|.\]

证毕.