Questions in category: 初等几何 (Elementary Geometry)
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11. 求下列阴影部分的面积.

Posted by haifeng on 2021-01-26 15:55:19 last update 2021-01-26 15:56:27 | Answers (0) | 收藏


$ABCD$ 和 $EFBG$ 是两个正方形. $ABCD$ 的边长是 10. 求 $\triangle ACE$ 的面积.

 

 

[Hint] 这个题目并未给出正方形 $EFBG$ 的边长, 事实上 $\triangle ACE$ 的面积与之没有关系.

 

12. 与正方形有关的恒等式

Posted by haifeng on 2021-01-26 10:17:56 last update 2021-01-26 10:57:40 | Answers (0) | 收藏


$ABCD$ 是正方形, 过点 $A$ 的直线分别交直线 $CD$ 与 $BC$ 于 $E$ 和 $F$.

证明: $\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AB^2}$.

 

 

 

 

 

 

特殊情况:$E=F=C$.

13. 平行四边形的内接平行四边形一定共心.

Posted by haifeng on 2021-01-25 19:13:28 last update 2021-01-25 20:00:16 | Answers (1) | 收藏


设 $EFGH$ 是内接于平行四边形 $ABCD$ 的一个平行四边形. $E$, $F$, $G$, $H$ 分别在边 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ 上. 证明: $ABCD$ 的中心就是 $EFGH$ 的中心.

 

 


 

【扩展问题1】

任意平行四边形 $ABCD$ 中是否都可以内接一个矩形? (如下图)

 

如果有, 请考察其性质:
(1) 有多少个?  
(2) 面积是否都相等?

 比如正方形中可以内接无数多个矩形,  存在一个面积最大的内接矩形(实际是正方形).

 


【扩展问题2】

任给一个矩形 $ABCD$,  在边 $AB$ 上任取一点 $E$. 从 $E$ 出发画射线(不与矩形的边平行), 每次碰到矩形 $ABCD$ 的边之后就“右转”或“左转”, 方向与原先的方向垂直.

问:

(1) 对于怎样的 $E$, 最终可以回到出发点?
(2) 如果回不到出发点, 有没有极限点?

 

 

14. [三角形中线问题]

Posted by haifeng on 2021-01-24 19:49:44 last update 2021-01-24 22:15:42 | Answers (1) | 收藏


设 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的一条中线. $BE$, $CF$ 与 $AD$ 交于一点. 连接 $EF$, 证明: $EF\parallel BC$.

 

 


【扩展问题1】
现在假设点 $P$ 在平行于底边 $BC$ 的一条直线上移动, $P$ 在 $\triangle ABC$ 内部. $AD$, $BE$, $CF$ 始终交于点 $P$.

问: 是否仅当 $D$ 是 $BC$ 中点时, 才有 $EF\parallel BC$ ? 

 

 


【扩展问题2】

记 $\triangle DEF$ 的面积为 $S$. 问: 点 $P$ 在什么位置时, $S$ 取得最值?

15. 写出椭圆方程 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的极坐标形式.

Posted by haifeng on 2020-12-04 10:27:17 last update 2020-12-04 10:27:36 | Answers (1) | 收藏


写出椭圆方程 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的极坐标形式.

 

如果用 $\rho=\rho(\theta)$ 表示椭圆曲线, 则方程为

\[
\rho^2=\frac{a^2 b^2}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}
\]

 

16. 将三角形两边往外绘制两个正方形, 正方形的相应顶点连接. 其中点作三角形第三边的垂线, 证明其平分之.

Posted by haifeng on 2020-05-14 22:23:55 last update 2020-05-14 22:25:30 | Answers (0) | 收藏


对于 $\triangle ABC$, 在两边 $AB$, $AC$ 的外侧分别作正方形 $ABFG$ 和 $ACDE$. 连接 $DF$, 并取中点 $H$. 设 $M$ 是 $BC$ 之中点. 

证明: $HM\perp BC$, 且 $|HM|=\frac{1}{2}|BC|$.

 

 

17. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及它们的焦点和准线

Posted by haifeng on 2019-12-05 21:19:36 last update 2019-12-05 21:19:36 | Answers (0) | 收藏


椭圆(ellipse)

\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
\]

 

双曲线(hyperbola)

\[
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.
\]

 

抛物线(parabola)

\[
y^2=2px,\quad\text{或}\quad x^2=2py
\]

 

焦点和准线

曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比是正常数, 记为 $e$. 注意此 $e$ 不是 2.71828... 那个无理数.

如果是抛物线, 则 $e=1$. 此时焦点为 $F=(\frac{p}{2},0)$ 或 $F=(0,\frac{p}{2})$

如果是椭圆, 则 $e < 1$. $e=\frac{c}{a}$. 假设 $a > b$, 则 $c=\sqrt{a^2-b^2}$, 焦点为 $(\pm c,0)$, 准线为 $x=\pm\frac{a^2}{c}$.

如果是双曲线, 则 $e>1$, $e=\frac{c}{a}$, 这里 $c=\sqrt{a^b+b^2}$, 焦点为 $(\pm c,0)$, 准线为 $x=\pm\frac{a^2}{c}$.

18. 设 $\triangle ABC$ 中 $\angle CAB=60^{\circ}$, $AD$ 是 $\angle CAB$ 的角平分线. 并且 $|AC|=1$, $|AB|=3$. 试求 $|AD|$ 的长.

Posted by haifeng on 2019-01-17 22:47:25 last update 2019-01-17 22:48:43 | Answers (0) | 收藏


设 $\triangle ABC$ 中 $\angle CAB=60^{\circ}$, $AD$ 是 $\angle CAB$ 的角平分线. 并且 $|AC|=1$, $|AB|=3$. 试求 $|AD|$ 的长.

 

 

 

问: 如果不使用余弦定理, 怎么做?

[hint] 参考问题2191

19. 将直角三角形 $\triangle EAB, \triangle BFC, \triangle CDA$ 如下图放置, 其中 $\angle EAB=\angle BFC=\angle CDA=90^{\circ}$

Posted by haifeng on 2019-01-17 22:03:48 last update 2019-01-17 22:20:20 | Answers (0) | 收藏


将直角三角形 $\triangle EAB, \triangle BFC, \triangle CDA$ 如下图放置, 其中 $\angle EAB=\angle BFC=\angle CDA=90^{\circ}$

 

 

  • 设 $|AE|=|BF|=|CF|=|DA|=1$,  $|EB|=|CD|=2$.
  • 延长 $CB$ 至 $G$, 使得 $|BG|=2$;
  • 延长 $CF$ 至 $H$, 使得 $GH\perp CH$.
  • 连接 $EG$, $AG$.
  • 过点 $B$ 作 $BN\perp EB$, 且 $BN$ 交 $GH$ 于 $N$.
  • 在 $AB$ 上取点 $M$, 使得 $|AM|=1$. 连接 $MN$.
  • $EJ$ 平行于 $AB$, 且 $EJ$ 交 $AG$ 于点 $Q$.
  • 过点 $D$ 作 $DT\perp BC$ 于 $T$, 作 $DS\perp BA$ 延长线 于 $S$.

 

证明:

(1) $\triangle AEG$ 与 $\triangle MBN$ 相似.

(2) $\frac{|AN|}{|EN|}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

(3) $|DT|=2|DS|$.

 

20. [Langley's problem] Triangle 20 80 80

Posted by haifeng on 2018-03-23 14:27:21 last update 2018-03-24 00:36:00 | Answers (2) | 收藏


Langley 问题是一道比较有名的初等几何题目, 有很多证明方法或求解方法. (https://www.cut-the-knot.org/triangle/80-80-20/IndexToClassical.shtml 上给出了12种方法.)

其中最巧妙也是最简洁的,  是由下面PDF文件给出的证明. 只需添加两条辅助线即可完成证明.

http://www.arbelos.co.uk/Papers/Triangle-problem.pdf

 


问题:

在三角形 $ABC$ 中, $\angle A=20^{\circ}$, $AB=AC$. 点 $D$ 位于边 $AC$ 上使得 $\angle DBC=60^{\circ}$ 并且点 $E$ 位于边 $AB$ 上, 使得 $\angle ECB=50^{\circ}$.

求 $\angle BDE$ 的大小.

 

 

这里给出上面pdf文件中的截图

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Remark:

类似的证明方法, 都会在其中找到一个正三角形.

 

References:

https://www.cut-the-knot.org/triangle/80-80-20/index.shtml

 

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