Questions in category: 初等几何 (Elementary Geometry)
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11. PROBLEMS IN PLANE AND SOLID GEOMETRY

Posted by haifeng on 2021-01-26 16:06:59 last update 2021-01-26 16:06:59 | Answers (0) | 收藏


本类别(初等几何)中许多题目参考自

PROBLEMS IN PLANE AND SOLID GEOMETRY
v.1 Plane Geometry
Viktor Prasolov
translated and edited by Dimitry Leites

 

e.math.hr/afine/planegeo.pdf

 

恕不一一指明. 很多图采用 GeoGebra 绘制.

12. 三角形中构造两条线段, 证明其相等.

Posted by haifeng on 2021-01-26 16:01:39 last update 2021-01-26 16:01:39 | Answers (0) | 收藏


设 $BB_1$ 和 $CC_1$ 是 $\triangle ABC$ 的两条高. 在 $BB_1$ 上取点 $B_2$, 使得 $\angle AB_2 C$ 为直角. 在 $CC_1$ 上取点 $C_2$, 使得 $\angle AC_2 B$ 为直角.

证明: $AB_2=AC_2$.

 

 

13. 求下列阴影部分的面积.

Posted by haifeng on 2021-01-26 15:55:19 last update 2021-01-26 15:56:27 | Answers (0) | 收藏


$ABCD$ 和 $EFBG$ 是两个正方形. $ABCD$ 的边长是 10. 求 $\triangle ACE$ 的面积.

 

 

[Hint] 这个题目并未给出正方形 $EFBG$ 的边长, 事实上 $\triangle ACE$ 的面积与之没有关系.

 

14. 与正方形有关的恒等式

Posted by haifeng on 2021-01-26 10:17:56 last update 2021-01-26 10:57:40 | Answers (0) | 收藏


$ABCD$ 是正方形, 过点 $A$ 的直线分别交直线 $CD$ 与 $BC$ 于 $E$ 和 $F$.

证明: $\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AB^2}$.

 

 

 

 

 

 

特殊情况:$E=F=C$.

15. 平行四边形的内接平行四边形一定共心.

Posted by haifeng on 2021-01-25 19:13:28 last update 2021-01-25 20:00:16 | Answers (1) | 收藏


设 $EFGH$ 是内接于平行四边形 $ABCD$ 的一个平行四边形. $E$, $F$, $G$, $H$ 分别在边 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ 上. 证明: $ABCD$ 的中心就是 $EFGH$ 的中心.

 

 


 

【扩展问题1】

任意平行四边形 $ABCD$ 中是否都可以内接一个矩形? (如下图)

 

如果有, 请考察其性质:
(1) 有多少个?  
(2) 面积是否都相等?

 比如正方形中可以内接无数多个矩形,  存在一个面积最大的内接矩形(实际是正方形).

 


【扩展问题2】

任给一个矩形 $ABCD$,  在边 $AB$ 上任取一点 $E$. 从 $E$ 出发画射线(不与矩形的边平行), 每次碰到矩形 $ABCD$ 的边之后就“右转”或“左转”, 方向与原先的方向垂直.

问:

(1) 对于怎样的 $E$, 最终可以回到出发点?
(2) 如果回不到出发点, 有没有极限点?

 

 

16. [三角形中线问题]

Posted by haifeng on 2021-01-24 19:49:44 last update 2021-01-24 22:15:42 | Answers (1) | 收藏


设 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的一条中线. $BE$, $CF$ 与 $AD$ 交于一点. 连接 $EF$, 证明: $EF\parallel BC$.

 

 


【扩展问题1】
现在假设点 $P$ 在平行于底边 $BC$ 的一条直线上移动, $P$ 在 $\triangle ABC$ 内部. $AD$, $BE$, $CF$ 始终交于点 $P$.

问: 是否仅当 $D$ 是 $BC$ 中点时, 才有 $EF\parallel BC$ ? 

 

 


【扩展问题2】

记 $\triangle DEF$ 的面积为 $S$. 问: 点 $P$ 在什么位置时, $S$ 取得最值?

17. 写出椭圆方程 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的极坐标形式.

Posted by haifeng on 2020-12-04 10:27:17 last update 2020-12-04 10:27:36 | Answers (1) | 收藏


写出椭圆方程 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的极坐标形式.

 

如果用 $\rho=\rho(\theta)$ 表示椭圆曲线, 则方程为

\[
\rho^2=\frac{a^2 b^2}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}
\]

 

18. 将三角形两边往外绘制两个正方形, 正方形的相应顶点连接. 其中点作三角形第三边的垂线, 证明其平分之.

Posted by haifeng on 2020-05-14 22:23:55 last update 2020-05-14 22:25:30 | Answers (1) | 收藏


对于 $\triangle ABC$, 在两边 $AB$, $AC$ 的外侧分别作正方形 $ABFG$ 和 $ACDE$. 连接 $DF$, 并取中点 $H$. 设 $M$ 是 $BC$ 之中点. 

证明: $HM\perp BC$, 且 $|HM|=\frac{1}{2}|BC|$.

 

 

19. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及它们的焦点和准线

Posted by haifeng on 2019-12-05 21:19:36 last update 2019-12-05 21:19:36 | Answers (0) | 收藏


椭圆(ellipse)

\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
\]

 

双曲线(hyperbola)

\[
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.
\]

 

抛物线(parabola)

\[
y^2=2px,\quad\text{或}\quad x^2=2py
\]

 

焦点和准线

曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比是正常数, 记为 $e$. 注意此 $e$ 不是 2.71828... 那个无理数.

如果是抛物线, 则 $e=1$. 此时焦点为 $F=(\frac{p}{2},0)$ 或 $F=(0,\frac{p}{2})$

如果是椭圆, 则 $e < 1$. $e=\frac{c}{a}$. 假设 $a > b$, 则 $c=\sqrt{a^2-b^2}$, 焦点为 $(\pm c,0)$, 准线为 $x=\pm\frac{a^2}{c}$.

如果是双曲线, 则 $e>1$, $e=\frac{c}{a}$, 这里 $c=\sqrt{a^b+b^2}$, 焦点为 $(\pm c,0)$, 准线为 $x=\pm\frac{a^2}{c}$.

20. 设 $\triangle ABC$ 中 $\angle CAB=60^{\circ}$, $AD$ 是 $\angle CAB$ 的角平分线. 并且 $|AC|=1$, $|AB|=3$. 试求 $|AD|$ 的长.

Posted by haifeng on 2019-01-17 22:47:25 last update 2019-01-17 22:48:43 | Answers (0) | 收藏


设 $\triangle ABC$ 中 $\angle CAB=60^{\circ}$, $AD$ 是 $\angle CAB$ 的角平分线. 并且 $|AC|=1$, $|AB|=3$. 试求 $|AD|$ 的长.

 

 

 

问: 如果不使用余弦定理, 怎么做?

[hint] 参考问题2191

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