问题

设 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的一条中线. $BE$, $CF$ 与 $AD$ 交于一点. 连接 $EF$, 证明: $EF\parallel BC$.

【扩展问题1】
现在假设点 $P$ 在平行于底边 $BC$ 的一条直线上移动, $P$ 在 $\triangle ABC$ 内部. $AD$, $BE$, $CF$ 始终交于点 $P$.

问: 是否仅当 $D$ 是 $BC$ 中点时, 才有 $EF\parallel BC$ ? 

【扩展问题2】

记 $\triangle DEF$ 的面积为 $S$. 问: 点 $P$ 在什么位置时, $S$ 取得最值?