椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及它们的焦点和准线
椭圆(ellipse)
\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
\]
双曲线(hyperbola)
\[
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.
\]
抛物线(parabola)
\[
y^2=2px,\quad\text{或}\quad x^2=2py
\]
焦点和准线
曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比是正常数, 记为 $e$. 注意此 $e$ 不是 2.71828... 那个无理数.
如果是抛物线, 则 $e=1$. 此时焦点为 $F=(\frac{p}{2},0)$ 或 $F=(0,\frac{p}{2})$
如果是椭圆, 则 $e < 1$. $e=\frac{c}{a}$. 假设 $a > b$, 则 $c=\sqrt{a^2-b^2}$, 焦点为 $(\pm c,0)$, 准线为 $x=\pm\frac{a^2}{c}$.
如果是双曲线, 则 $e>1$, $e=\frac{c}{a}$, 这里 $c=\sqrt{a^b+b^2}$, 焦点为 $(\pm c,0)$, 准线为 $x=\pm\frac{a^2}{c}$.