平行四边形的内接平行四边形一定共心.
设 $EFGH$ 是内接于平行四边形 $ABCD$ 的一个平行四边形. $E$, $F$, $G$, $H$ 分别在边 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ 上. 证明: $ABCD$ 的中心就是 $EFGH$ 的中心.
【扩展问题1】
任意平行四边形 $ABCD$ 中是否都可以内接一个矩形? (如下图)
如果有, 请考察其性质:
(1) 有多少个?
(2) 面积是否都相等?
比如正方形中可以内接无数多个矩形, 存在一个面积最大的内接矩形(实际是正方形).
【扩展问题2】
任给一个矩形 $ABCD$, 在边 $AB$ 上任取一点 $E$. 从 $E$ 出发画射线（不与矩形的边平行）, 每次碰到矩形 $ABCD$ 的边之后就“右转”或“左转”, 方向与原先的方向垂直.
问:
(1) 对于怎样的 $E$, 最终可以回到出发点?
(2) 如果回不到出发点, 有没有极限点?
