问题及解答

设 $EFGH$ 是内接于平行四边形 $ABCD$ 的一个平行四边形. $E$, $F$, $G$, $H$ 分别在边 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ 上. 证明: $ABCD$ 的中心就是 $EFGH$ 的中心.

【扩展问题1】

任意平行四边形 $ABCD$ 中是否都可以内接一个矩形? (如下图)

如果有, 请考察其性质:
(1) 有多少个?  
(2) 面积是否都相等?

 比如正方形中可以内接无数多个矩形,  存在一个面积最大的内接矩形(实际是正方形).

【扩展问题2】

任给一个矩形 $ABCD$,  在边 $AB$ 上任取一点 $E$. 从 $E$ 出发画射线（不与矩形的边平行）, 每次碰到矩形 $ABCD$ 的边之后就“右转”或“左转”, 方向与原先的方向垂直.

问:

(1) 对于怎样的 $E$, 最终可以回到出发点?
(2) 如果回不到出发点, 有没有极限点?

容易证明, $\triangle AEH\cong\triangle CGF$, 且  $\triangle BEF\cong\triangle DGH$. 

从而 $AH=FC$, $BF=HD$, 故 $HF$ 一定经过平行四边形 $ABCD$ 的中心. 

类似的, $BE=DG$, $AE=CG$, 故 $EG$ 一定经过平行四边形 $ABCD$ 的中心. 

因此, $HF$ 和 $EG$ 的交点即为平行四边形 $ABCD$ 的中心.