1. 几何方法优于代数办法的例子
Posted by haifeng on 2022-12-10 10:19:44 last update 2022-12-10 10:19:44 | Answers (0) | 收藏
Posted by haifeng on 2022-12-10 10:19:44 last update 2022-12-10 10:19:44 | Answers (0) | 收藏
Posted by haifeng on 2022-03-18 22:12:01 last update 2022-03-18 22:40:10 | Answers (1) | 收藏
定理. (Euler) $\triangle ABC$ 中的外心、垂心、重心三点一线.
这条线被称为欧拉线(Euler line).
具体的, 如上图, $\triangle ABC$ 中, $BD$ 和 $AH_1$ 分别是边 $AC$、$BC$ 上的高, 它们相交于点 $H$, 即 $H$ 为垂心.
$O$ 是 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心, 即外心. $O_1$ 是 $BC$ 中点. 连接 $AO_1$, 与 $OH$ 交于点 $X$. 证明: $X$ 是 $\triangle ABC$ 的重心(即三条中线的交点).
参考自 [2].
References:
[1] Roger. A. Johnson, Modern Geometry. Houghton Mifflin, 1929.
[2] R. A. 约翰逊 著, 单墫 译 《近代欧氏几何学》.
Posted by haifeng on 2021-11-20 22:08:54 last update 2021-11-20 22:10:49 | Answers (1) | 收藏
平面上 $n$ 条直线, 没有重合现象. 交点最多有多少个?
例如: 2 条直线至多有一个交点. 3 条直线至多有 3个交点.
可以证明, 平面上 $n$ 条直线至多有 $C_n^2$ 个交点.
Posted by haifeng on 2021-10-20 14:56:43 last update 2021-10-20 15:19:38 | Answers (1) | 收藏
设圆 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外接圆, $E$, $F$ 分别为边 $AC$, $AB$ 上的点, 使得 $BCEF$ 四点共圆, 圆心为 $J$. $BE$, $CF$ 交于点 $S$, 直线 $JS$ 交圆 $O$ 于点 $T$.
证明: $\angle ATJ=90^\circ$ .
Posted by haifeng on 2021-02-25 11:20:06 last update 2021-02-25 11:20:06 | Answers (1) | 收藏
设正方形 $ABCD$ 的边长为 4, 点 $O$ 是边 $AB$ 的中点. 以 $O$ 为圆心作半径为 2 的半圆, 与以 $D$ 为圆心, 4 为半径的 $1/4$ 圆弧相交于点 $E$. 求阴影部分的面积.
Posted by haifeng on 2021-02-18 11:49:31 last update 2021-02-18 17:37:21 | Answers (2) | 收藏
证明:
\[\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta\]
并求 $\sin 10^{\circ}$ 的值.
1. 求 $\cos 10^{\circ}$, $\tan 10^{\circ}$, $\tan 20^{\circ}$ 等的值.
2. 求 $\dfrac{3}{8}\tan 10^{\circ}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 10^{\circ}$ 的值.
Posted by haifeng on 2021-02-05 23:05:06 last update 2021-02-05 23:09:43 | Answers (1) | 收藏
$ABCDEF$ 是正六边形. 设 $G$ 是边 $AF$ 的中点. $H$ 是 $CE$ 的中点. 证明 $\triangle BHG$ 为正三角形.
要求: 不能使用余弦定理.
Posted by haifeng on 2021-02-05 22:58:38 last update 2021-02-05 22:58:38 | Answers (0) | 收藏
一般的,当 $D$, $E$ 分别在 $AB$, $AC$ 垂直平分线上运动,且保持 $\angle ADB=\angle AEC$ 时,总可以在 $\triangle ABC$ 中线 $AF$ 上找到一点(不妨记为 $F'$,这里是 $F$),使得 $\triangle DF'E$ 与刚才两个三角形相似.
Posted by haifeng on 2021-02-05 22:37:35 last update 2021-02-05 22:41:32 | Answers (0) | 收藏
设 $BE$, $CF$ 是 $\triangle ABC$ 的两条高, 交于点 $H$. 连接 $AH$ 并延长, 与 $BC$ 交于点 $D$. 证明: $AD\perp BC$.
Posted by haifeng on 2021-01-26 16:14:24 last update 2021-01-26 16:15:26 | Answers (0) | 收藏
设梯形 $ABCD$ 有内接圆, 这里 $AD\parallel BC$. 内接圆与 $AB$, $CD$ 分别相切于 $K$, $L$; 与上下底 $AD$, $BC$ 分别相切于 $M$, $N$. 连接 $AN$ 和 $BM$, 设相交于点 $Q$. 连接 $KQ$.
证明: (1) $KQ\parallel AD$.
(2) $AK\cdot KB=CL\cdot LD$.