设 $\triangle ABC$ 中 $\angle CAB=60^{\circ}$, $AD$ 是 $\angle CAB$ 的角平分线. 并且 $|AC|=1$, $|AB|=3$. 试求 $|AD|$ 的长.

 

 

 

问: 如果不使用余弦定理, 怎么做?

[hint] 参考问题2191

将直角三角形 $\triangle EAB, \triangle BFC, \triangle CDA$ 如下图放置, 其中 $\angle EAB=\angle BFC=\angle CDA=90^{\circ}$

 

 

• 设 $|AE|=|BF|=|CF|=|DA|=1$,  $|EB|=|CD|=2$.
• 延长 $CB$ 至 $G$, 使得 $|BG|=2$;
• 延长 $CF$ 至 $H$, 使得 $GH\perp CH$.
• 连接 $EG$, $AG$.
• 过点 $B$ 作 $BN\perp EB$, 且 $BN$ 交 $GH$ 于 $N$.
• 在 $AB$ 上取点 $M$, 使得 $|AM|=1$. 连接 $MN$.
• $EJ$ 平行于 $AB$, 且 $EJ$ 交 $AG$ 于点 $Q$.
• 过点 $D$ 作 $DT\perp BC$ 于 $T$, 作 $DS\perp BA$ 延长线 于 $S$.

 

证明:

(1) $\triangle AEG$ 与 $\triangle MBN$ 相似.

(2) $\frac{|AN|}{|EN|}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

(3) $|DT|=2|DS|$.

 

Langley 问题是一道比较有名的初等几何题目, 有很多证明方法或求解方法. (https://www.cut-the-knot.org/triangle/80-80-20/IndexToClassical.shtml 上给出了12种方法.)

其中最巧妙也是最简洁的,  是由下面PDF文件给出的证明. 只需添加两条辅助线即可完成证明.

http://www.arbelos.co.uk/Papers/Triangle-problem.pdf

 

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问题：

在三角形 $ABC$ 中, $\angle A=20^{\circ}$, $AB=AC$. 点 $D$ 位于边 $AC$ 上使得 $\angle DBC=60^{\circ}$ 并且点 $E$ 位于边 $AB$ 上, 使得 $\angle ECB=50^{\circ}$.

求 $\angle BDE$ 的大小.

 

 

这里给出上面pdf文件中的截图

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Remark:

类似的证明方法, 都会在其中找到一个正三角形.

 

References:

https://www.cut-the-knot.org/triangle/80-80-20/index.shtml

 

证明图中两块阴影部分的面积相等, 即 $A=B$.

 

 

翼とレンズ　　翻译：　飞翼与透镜   wings and lens

 

翼（つばさ）

 

 

The picture is provided by Lei LIU.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

直角三角形 $\triangle ABC$ 中 $\angle B$ 是直角, DE, FH 均平行于 AB, (D、F在线段 AC 上, 且 $D\neq A,C$.  E、H 在线段 BC 上)。 H 是线段 BE 的中点.

假设梯形 ABHF 的面积为 $S_1$, 梯形 FHED 的面积为 $S_2$, 求三角形 DEC 的面积 $S_3$.