问题及解答

证明: 曲面 $F(nx-lz,ny-mz)=0$ 在任一点处的切平面都平行于直线
$$\frac{x-1}{l}=\frac{y-2}{m}=\frac{z-3}{n},$$
其中 $F$ 具有连续的偏导数.

令 $\phi (x,y,z)=F(nx-lz,ny-mz)$, 则
$${\phi }_x^{\prime }=F_1^{\prime }\cdot n+F_2^{\prime }\cdot 0,{\phi }_y^{\prime }=F_1^{\prime }\cdot 0+F_2^{\prime }\cdot n,{\phi }_z^{\prime }=F_1^{\prime }\cdot (-l)+F_2^{\prime }\cdot (-m).$$
故此曲面在 $(x,y,z)$ 处的法向量为
$$\overrightarrow{N}=({\phi }_x,{\phi }_y,{\phi }_z)=(n{F}_1^{\prime },n{F}_2^{\prime },-l{F}_1^{\prime }-m{F}_2^{\prime }),$$
记 $\overrightarrow{v}=(l,m,n)$, 则
$$\overrightarrow{N}\cdot \overrightarrow{v}=n{F}_1^{\prime }\cdot l+n{F}_2^{\prime }\cdot m+(-l{F}_1^{\prime }-m{F}_2^{\prime })\cdot n=0.$$
因此, 此曲面在任一点处的切平面都与直线 $\frac{x-1}{l}=\frac{y-2}{m}=\frac{z-3}{n}$ 平行.