问题及解答

证明: $\sqrt{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上是一致连续的. 

(用定义证明)

[Hint]  将 $(0,+\infty)$ 分两部分, 比如 $(0,a]$ 和 $[a,+\infty)$. 这里 $a > 0$. 在 $(0,a]$ 上利用不等式

\[
|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leqslant\sqrt{|x-y|}.
\]

取 $a > b >0$, 任给 $\varepsilon > 0$, 对于 $x_1,x_2\in (0,a]$, 存在 $\delta_1=\varepsilon^2$, 当 $|x_1-x_2| < \delta_1$ 时,

\[
|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|\leqslant\sqrt{|x_1-x_2|} < \sqrt{\delta_1}=\varepsilon.
\]

当 $x_1,x_2\in[b,+\infty)$, 存在 $\delta_2=2\sqrt{b}\varepsilon$, 当 $|x_1-x_2| < \delta_2$ 时

\[
|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|=\biggl|\frac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}\biggr|\leqslant\biggl|\frac{\delta_2}{2\sqrt{b}}\biggr|\leqslant\varepsilon .
\]

因此, 令 $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$, 则当 $|x_1-x_2| < \delta$ 时, 都有

\[
|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|\leqslant\varepsilon .
\]

因此, 根据定义, $\sqrt{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上是一致连续的.