问题及解答

设 $f(x)=\ln x^2-\log_{\frac{1}{2}}(x^2+1)$, 求使得 $f(\log_{\frac{1}{3}}x) > 1$ 的 $x$ 的取值范围.

解.  在 $f(\log_{\frac{1}{3}}x) > 1$ 中要求 $x > 0$, 故下设 $x > 0$. 

\[
f(x)=\ln x^2-\log_{\frac{1}{2}}(x^2+1)=2\ln |x|+\frac{\ln(x^2+1)}{\ln 2}.
\]

记 $y=\log_{\frac{1}{3}}x$, 则 $x=(\frac{1}{3})^y=3^{-y}$.  $f(y) > 1$ 即

\[
\begin{aligned}
&2\ln |y|+\frac{\ln(y^2+1)}{\ln 2} > 1\\
\Leftrightarrow\quad& 2\ln 2\cdot\ln|y|+\ln(y^2+1) > \ln 2\\
\Leftrightarrow\quad& \ln(y^2+1) > \ln 2\cdot(1-2\ln |y|)\\
\Leftrightarrow\quad& y^2+1 > e^{\ln 2\cdot(1-2\ln |y|)}\\
\Leftrightarrow\quad& y^2+1 > 2^{1-\ln y^2},
\end{aligned}
\]

记 $t=y^2$, 于是等价于

\[
t+1 > 2^{1-\ln t}.
\]

两边取 2 为底的对数, 得

\[
\log_2(t+1) > 1-\ln t\ .
\]

其中 $\log_2(t+1)$ 是严格单调递增函数, $1-\ln t$ 是严格单调递减函数, 方程 $\log_2(t+1)=1-\ln t$ 有惟一解 $t_0=1$. 当 $t > t_0=1$ 时, $\log_2(t+1) > 1-\ln t$.  

因此, 当 $y^2 > 1$ 即 $|y| > 1$ 时, $f(y) > 1$ 成立. 而 $y > 1$ 和 $y < -1$ 分别对应到 $0 < x < \frac{1}{3}$ 和 $x > 3$. 因此所求 $x$ 的取值范围为 $(0,\frac{1}{3})\cup(3,+\infty)$.