问题及解答

对任意实数 $a,b$, 证明: $a^n-b^n$ 有因式 $a-b$. 具体的,

\[
\begin{split}
a^n-b^n&=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+a^2 b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})\\
&=(a-b)\sum_{i=0}^{n-1}a^i b^{n-1-i}
\end{split}
\]

直接计算证明.

\[
\begin{split}
\text{RHS}&=a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+\cdots+a^3b^{n-3}+a^2b^{n-2}+ab^{n-1}\\
&\quad -a^{n-1}b-a^{n-2}b^2-a^{n-3}b^3-\cdots-a^2b^{n-2}-ab^{n-1}-b^{n}\\
&=a^n-b^n\\
&=\text{LHS}.
\end{split}
\]

或者, 用 $\sum$ 记号来计算.

\[
\begin{split}
&(a-b)\sum_{i=0}^{n-1}a^i b^{n-1-i}\\
=&\sum_{i=0}^{n-1}a^{i+1}b^{n-1-i}-\sum_{i=0}^{n-1}a^i b^{n-i}\\
=&\sum_{i=1}^{n}a^i b^{n-i}-\sum_{i=0}^{n-1}a^i b^{n-i}\\
=&a^n+\sum_{i=1}^{n-1}a^i b^{n-i}-\sum_{i=1}^{n-1}a^i b^{n-i}-b^n\\
=&a^n-b^n
\end{split}
\]