证明 $\log(1+n) < 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} < 1+\log n$.
证明
\[
\log(1+n) < 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} < 1+\log n .
\]
注意: $0 < 1+\log n-\log(1+n) < 1$. 事实上, 区间 $[\log(1+n), 1+\log n]$ 的长度随着 $n$ 递增趋于 1.
证明
\[
\log(1+n) < 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} < 1+\log n .
\]
注意: $0 < 1+\log n-\log(1+n) < 1$. 事实上, 区间 $[\log(1+n), 1+\log n]$ 的长度随着 $n$ 递增趋于 1.