问题及解答

Claim.  设正数 $a,b,c,d$ 满足 $a+c > \frac{1}{2}$, $b+d < \frac{1}{2}$. 则存在 $a,c$ 使得 $ac>bd$.

\[
\sqrt{bd}\leqslant\frac{b+d}{2}\quad\Rightarrow\quad bd\leqslant(\frac{b+d}{2})^2
\]

根据条件 $b+d < \frac{1}{2}$, 故 $bd\leqslant(\frac{b+d}{2})^2 < \frac{1}{16}$. 从而

\[
\frac{ac}{bd} > 16ac.
\]

由于 $a+c > \frac{1}{2}$, 故可取适当的 $a$ 和 $c$, 使得 $ac > \frac{1}{16}$. 从而有

\[
\frac{ac}{bd} > 16ac > 1.
\]