设函数 $f(x)$ 对任意 $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ 都满足: $f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$, 若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导且 $f'(0)=1$. 证明: $f'(x)=f(x)$. 事实上, $f(x)=e^x$.
Q. 单由 $f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$, 能推出 $f(x)$ 满足什么性质?
类似问题有
问题3012
1
根据题设,
\[
f(0+0)=f(0)\cdot f(0)\quad\Rightarrow\quad f^2(0)-f(0)=0.
\]
于是 $f(0)=0$ 或 $f(0)=1$.
又 $f(x+0)=f(x)\cdot f(0)$, 故若 $f(0)=0$, 则 $f(x)=0$ 对任意 $x\in\mathbb{R}$ 成立. 这与条件 $f'(0)=1$ 不符.
因此, $f(0)=1$.
\[
\begin{split}
&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\
=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x)f(\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\
=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x)\cdot\bigl(f(\Delta x)-1\bigr)}{\Delta x}\\
=&f(x)\cdot\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}\\
=&f(x)\cdot f'(0)\\
=&f(x)
\end{split}
\]
因此函数 $f(x)$ 在每一点处可导, 且 $f'(x)=f(x)$, $\forall\ x\in\mathbb{R}$. 由此使用不定积分即可推出 $f(x)=Ce^x$, 加上 $f(0)=1$, 可推出 $C=1$.
2
如果仅有条件 $f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$ 或 $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
$f(0+0)=f(0)\cdot f(0)$, 推出 $f(0)=0$ 或 $f(0)=1$. 如果 $f(0)=0$, 则由 $f(x)=f(x+0)=f(x)\cdot f(0)$ 推出 $f(x)\equiv 0$.
下面设 $f(0)=1$.
Claim 1. $f(n)=f^n(1)$, $\forall\ n\in\mathbb{N}$.
Pf. 用归纳法即可证明.
Claim 2. $f(-n)=\dfrac{1}{f(n)}=\dfrac{1}{f^n(1)}$.
Pf.
\[
1=f(0)=f(-n+n)=f(-n)\cdot f(n)\quad\Rightarrow\quad f(-n)=\frac{1}{f(n)}.
\]
Claim 3. $f(\dfrac{1}{n})=\sqrt[n]{f(1)}$, $\forall\ n\in\mathbb{N}$.
Pf.
\[
f(1)=f(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n})=\prod_{i=1}^{n}f(\frac{1}{n})=f^n(\frac{1}{n}).
\]
由此, 直接推出下面的
Claim 4. $f(\dfrac{m}{n})=(f(1))^{\frac{m}{n}}$.