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问题及解答

1sin2x 的级数表示及应用.

Posted by haifeng on 2024-12-15 15:05:42 last update 2024-12-15 15:06:13 | Edit | Answers (0)

证明: 1sin2x=kZ1(x+kπ)2,  xkπ. 该级数在任何不包含 {kπ} 的闭区间上都是一致收敛的. 该级数也可改写为
1sin2x=1x2+n=1[1(x+nπ)2+1(xnπ)2],xkπ.

特别地, 令 x0, 得
13=limx0(1sin2x1x2)=2n=11(nπ)2,\pause
由此推出
ζ(2)=n=11n2=π26.

 

 

参考 [1] P.319--320.


References:

[1] 梅加强 编著 《数学分析》.