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设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}-a_n)=A$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n}=A$.

Posted by haifeng on 2024-09-07 10:35:21 last update 2024-09-07 10:51:03 | Answers (1) | 收藏


设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}-a_n)=A$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n}=A$.

 


[Hint] 看到 $a_{n+1}-a_n$ 就要联想到 $\frac{a_{n+1}-a_n}{(n+1)-n}$, 进而 Stolz 公式. 当然这里我们并不需要应用 Stolz 公式, 只需引理3344即可.

 

[Remark] 下面的证法不行. 

由条件得 $\forall\ \varepsilon > 0$, $\exists N$, 当 $n > N$ 时, 总有

\[A-\varepsilon < a_{n+1}-a_n < A+\varepsilon .\]

于是, 有

\[
\begin{cases}
A-\varepsilon < &a_{n+1}-a_n < A+\varepsilon,\\
A-\varepsilon < &a_{n+2}-a_{n+1} < A+\varepsilon,\\
&\vdots\\
A-\varepsilon < &a_{2n}-a_{2n-1} < A+\varepsilon .
\end{cases}
\]

相加得

\[
n(A-\varepsilon) < a_{2n}-a_n < n(A+\varepsilon),
\]

从而推出

\[
A-\varepsilon < \frac{a_{2n}-a_n}{n} < A+\varepsilon .
\]

但这无法证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n}=A$, 除非知道数列 $\{\frac{a_n}{n}\}$ 是收敛的.