设 $b_k > 0$ $(1\leqslant k\leqslant n)$, 且 $m\leqslant\frac{a_k}{b_k}\leqslant M$, $\forall 1\leqslant k\leqslant n$, 则有 $m\leqslant\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}\leqslant M$.
设 $b_k > 0$ $(1\leqslant k\leqslant n)$, 且
\[m\leqslant\frac{a_k}{b_k}\leqslant M,\quad\forall 1\leqslant k\leqslant n,\]
则有
\[m\leqslant\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}\leqslant M .\]
见 [1] 引理 2.4.1. 此引理用于证明 Stolz 公式. 当然, 作为 Stolz 公式的特殊情形, 下面这个问题3345也可以直接用此引理证明.
Exer. 设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}-a_n)=A$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n}=A$.
References:
[1] 梅加强 著 《数学分析》