问题及解答

模群(modular group)指 $SL_2(\mathbb{Z})$, 即系数取自整数加法群 $\mathbb{Z}$ 的所有行列式为 1 的二阶矩阵集合, 容易验证这是一个乘法群.

设 $A, B\in SL_2(\mathbb{Z})$,  不妨写为

\[A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} x & y\\ u & v\end{pmatrix}\]

则

\[
B^{-1}=\begin{pmatrix} v & -y\\ -u & x\end{pmatrix}
\]

\[
AB^{-1}=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} v & -y\\ -u & x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} av-bu & bx-ay\\ cv-du & xd-cy\end{pmatrix}
\]

当然, 通过行列式的乘法定理, 知 $|AB^{-1}|=|A|\cdot |B|^{-1}=1$. 也可以直接计算,

\[
\begin{split}
|AB^{-1}|&=(av-bu)(xd-cy)-(bx-ay)(cv-du)\\
&=adxv-acvy-bdxu+bcuy-(bcxv-bdux-acyv+adyu)\\
&=ad(xv-yu)-bc(xv-uy)\\
&=ad-bc\\
&=1.
\end{split}
\]

因此, $SL_2(\mathbb{Z})$ 是一个群.