Posted by haifeng on 2015-02-11 15:55:32 last update 2015-02-11 15:58:20 | Edit | Answers (1)
设 G,G′ 是两个群. e,e′ 分别是两个群的单位元. 如果定义
(g,g′)⋅(h,h′)=(gh,g′h′),
则 G×G′ 是一个群.
证明 G×{e′}◃G×G′, {e}×G′◃G×G′, 并且
G×G′/G×e′≅G′,G×G′/{e}×G′≅G.
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Posted by haifeng on 2015-02-11 16:06:18
首先 (g,g′)⋅(h−1,h′−1)=(gh−1,g′h′−1)∈G×G′, 所以 G×G′ 是一个群.
(1) 任取 (g,g′)∈G×G′, 及任意的 (h,e′)∈G×{e′}, 有
(g,g′)⋅(h,e′)⋅(g−1,g′−1)=(ghg−1,g′eg′−1)=(ghg−1,e′)∈(G×{e′}),
所以 G×{e′} 是 G×G′ 的正规子群.
