问题及解答

设 $G,G'$ 是两个群. $e,e'$ 分别是两个群的单位元. 如果定义

\[
(g,g')\cdot(h,h')=(gh,g'h'),
\]

则 $G\times G'$ 是一个群.

证明 $G\times\{e'\}\triangleleft G\times G'$, $\{e\}\times G'\triangleleft G\times G'$, 并且

\[
\begin{aligned}
G\times G'/G\times{e'}\cong G',\\
G\times G'/\{e\}\times G'\cong G.\\
\end{aligned}
\]
 

首先 $(g,g')\cdot(h^{-1},{h'}^{-1})=(gh^{-1},g'{h'}^{-1})\in G\times G'$, 所以 $G\times G'$ 是一个群.

(1) 任取 $(g,g')\in G\times G'$, 及任意的 $(h,e')\in G\times\{e'\}$, 有

\[
(g,g')\cdot (h,e')\cdot (g^{-1},{g'}^{-1})=(ghg^{-1},g'e{g'}^{-1})=(ghg^{-1},e')\in (G\times\{e'\}),
\]

所以 $G\times\{e'\}$ 是 $G\times G'$ 的正规子群.