设 $G$ 是群, $H$ 和 $K$ 是 $G$ 的有限子群, 则

\[ |HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}. \]

亦称群同态第三基本定理: 设 $H\leq G$, $K\trianglelefteq G$, 则 $H\cap K\trianglelefteq H$, 且

\[ HK/K\cong H/(H\cap K). \]

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设 $H,K$ 是 $G$ 的子群, $H\leq N_G(K)$, 则 $HK\leq G$, $K\trianglelefteq HK$, $H\cap K\trianglelefteq H$, 且

\[ HK/K\cong H/(H\cap K). \]

[亦称群同态第二基本定理(Emmy Noether)] 设 $N\trianglelefteq G,\ M\trianglelefteq G$
且 $N\subset M$, 则 $N$ 是 $M$ 的正规子群, 并且

\[ (G/N)/(M/N)\cong G/M. \]

该定理也称群同态第一基本定理

1. 设 $N\trianglelefteq G$, 则映射 $\nu:g\mapsto Ng$ 是 $G$ 到 $G/N$ 上的同态映射, 满足 $\text{Ker}\nu=N$, $\nu(G)=G/N$.
   这样的 $\nu$ 叫做 $G$ 到 $G/N$ 上的自然同态.
2. 设 $\alpha:G\rightarrow H$ 是同态映射, 则 $\text{Ker}\alpha\trianglelefteq G$, 且 $\alpha(G)\cong G/\text{Ker}\alpha$.

因为交换群的每个子群都是正规子群, 所以交换单群只有素数阶循环群. 而非交换单群则有十分复杂的情形. 有限非交换单群的分类公认于 1981 年完成, 但其最终完成是在 2003 年 Aschbacher 和 Smith 完成了所谓“拟薄群”的分类之后.

有限单群的分类定理: 每个有限非交换单群或者是 Lie type 的, 或者是 alternating group, 或是下述 26 个 sporadic groups 之一.

• $M_{11},M_{12},M_{22},M_{23},M_{24}$
• $J_1,J_2,J_3,J_4$
• $Hs$
• $Co_1,Co_2,Co_3$
• $He$
• $Mc$
• Suz
• $M(22),M(23),M(24)\'$
• Ly
• $Ru$
• $ON$
• $F_5,F_3,F_2,F_1$

考虑平面上正 $n$ 边形($n\geqslant 3$)的全体对称的集合, 记为 $D_{2n}$(有时也记为 $D_n$). 它有 $2n$ 个元素, 包含 $n$ 个旋转和 $n$ 个反射(沿 $n$ 条不同的的对称轴). 它关于变换的乘法(即变换的连续施加)来说构成一个群, 叫做二面体群.

 

二面体群的定义关系为:

\[ D_{2n}=\langle a,b\mid a^n=1, b^2=1, b^{-1}ab=a^{-1}\rangle \]

 

其中 $a$ 表示绕这个正 $n$ 边形的中心沿逆时针方向旋转 $\frac{2\pi}{n}$ 的变换; $b$ 表示沿某一预指定的对称轴 $\ell$ 所作的反射变换. $\langle a\rangle$ 构成 $D_{2n}$ 的一个 $n$ 阶正规子群.

 

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The definition of the symmetric group on a nonempty set.

Describe all subgroups of the symmetric group $S_4$ under the isometric sense.