二面体群(dihedral group)
考虑平面上正 $n$ 边形($n\geqslant 3$)的全体对称的集合, 记为 $D_{2n}$(有时也记为 $D_n$). 它有 $2n$ 个元素, 包含 $n$ 个旋转和 $n$ 个反射(沿 $n$ 条不同的的对称轴). 它关于变换的乘法(即变换的连续施加)来说构成一个群, 叫做二面体群.
二面体群的定义关系为:
\[ D_{2n}=\langle a,b\mid a^n=1, b^2=1, b^{-1}ab=a^{-1}\rangle \]
其中 $a$ 表示绕这个正 $n$ 边形的中心沿逆时针方向旋转 $\frac{2\pi}{n}$ 的变换; $b$ 表示沿某一预指定的对称轴 $\ell$ 所作的反射变换. $\langle a\rangle$ 构成 $D_{2n}$ 的一个 $n$ 阶正规子群.
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