[Thm](Lagrange 定理) 设 $G$ 为一有限群, $H$ 是 $G$ 的一个子群, 则 $|H|$ 可整除 $|G|$.

有限群的基本性质

设 $G$ 是有限群, $|G|=n$.

1. 若 $H < G$, 则 $|H|$ 可整除 $|G|$.   
2. $G$ 中每个元素的阶一定是 $|G|$ 的约数.
3. $\forall\ g\in G$, $g^n=e$.

(1) 是 Lagrange 定理 . 

(2) 任取 $a\in G$, 由 $a$ 生成的循环群 $\langle a\rangle$ 是 $G$ 的子群. 根据 Lagrange 定理, $|\langle a\rangle|$ 是 $|G|$ 的因子. 这里 $|\langle a\rangle|$ 即为 $a$ 的阶.

(3) 任取 $g\in G$, 设 $g$ 的阶(记为 $\mathrm{ord}_{G}(a)$, 表示元素 $a$ 在群 $G$ 中的阶 order) 为 $d$, 则 $d$ 是 $n$ 的因子. 不妨设 $n=d\cdot m$, 则

\[
g^n=g^{dm}=(g^d)^m=e^m=e.
\]

Prop. 设 $G$ 是有限群, $P_r$ 和 $P_s$ 分别是 $G$ 的 Sylow $r$-子群和 Sylow $s$-子群, 若 $r\neq s$, 则 $P_r\cap P_s=\{e\}$.

Question: 什么条件下, $G$ 的 Sylow $p$-子群之间必有交集(指除了单位元之外有其他公共元素)?  当然, 此时 $G$ 的 Sylow $p$-子群不唯一.

Remark.  由于 $P_r$ 和 $P_s$ 都是群 $G$ 的 Sylow 子群, 故这里 $r$ 和 $s$ 都是素数.  利用有限群中每个元素的阶一定是 $|G|$ 的约数的结论（见问题3279）即可证明.

Thm.  设 $p$-群 $G$ 作用在某个集合 $X$ 上, 若记 $|G|=n$, $|X|=k$, $t$ 为该作用的不动点个数, 则 

\[
n\equiv t{\pmod p}\ .
\]

定义(正规化子) 设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群, 令

\[
N(H)=\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\}.
\]

容易验证 $N(H)$ 是 $G$ 的子群且 $H\subset N(H)$. 称 $N(H)$ 为子群 $H$ 的正规化子(normalization).

由定义, $H$ 是 $N(H)$ 的正规子群 ($H\triangleleft N(H)$. 任取 $g\in N(H)$, $gHg^{-1}\subset H$.)

一个自然的问题是,   $N(N(H))$ 是否等于 $N(H)$?  $N(H)$ 是否是 $G$ 的正规子群?

首先, $N(H)$ 是 $N(N(H))$ 的正规子群. 若 $N(N(H))=N(H)$,  则意为, 对任意 $g\in N(N(H))$, 即满足 $gN(H)g^{-1}=N(H)$ 的 $g$ 必属于 $N(H)$.

而 $N(H)\triangleleft G$ 指任取 $g\in G$, 有 $gN(H)g^{-1}=N(H)$.

由于 $G$ 是有限群, 我们可以得到一个有限的正规子群列:

\[
H\triangleleft N(H)\triangleleft N(N(H))\triangleleft N(N(N(H)))\triangleleft\cdots
\]

定理. 当 $H$ 是 $G$ 的 Sylow $p$-子群时, 有 $N(N(H))=N(H)$.

关于 Sylow $p$-子群, 参见问题3267.

定理(Sylow 第三定理) 设 $G$ 为一有限群, $p$ 是素数且 $p$ 整除 $|G|$, $k$ 是 $G$ 中全部 Sylow $p$-子群的个数. 则 $k\equiv 1\pmod p$.

[Idea] 这里首先得证明 $G$ 的所有 Sylow $p$-子群的个数整除 $|G|$, 然后应用 $p$-群作用在有限集 $X$ 上的性质（见问题3273）.

推论.  设 $G$ 是有限群, $|G|=n=p^{\ell}m$, 且 $(p,m)=1$, $p$ 是素数, 则 $G$ 的 Sylow $p$-子群的个数是 $m$ 的因子.

Sylow 第一定理

Sylow 第二定理

References:

聂灵沼, 丁石孙  《代数学引论》

命题. 设 $G$ 是 $p$-群, 作用在一个有限集合 $X$ 上. 若 $|X|=n$, 且 $(n,p)=1$, 则 $X$ 中必有不动点.

定理(Sylow 第二定理)  设有限群 $G$ 的阶为 $p^{\ell}\cdot m$, 其中 $p$ 为素数, 且 $(p,m)=1$. $P$ 为 $G$ 的一个 Sylow $p$-子群. 于是 $G$ 的任何一个阶为 $p^k$ $(k\leqslant\ell)$ 的子群 $H$ 必定包含在一个与 $P$ 共轭的 Sylow $p$-子群中.

[Idea] 考虑 $H$ 在 $X=\{gP\mid g\in G\}$ 上的作用.

特别地, 若 $H$ 是 $G$ 的 Sylow $p$-子群, 则 $H\subset gPg^{-1}$. 又 $|H|=|P|=p^{\ell}$, 故 $H=gPg^{-1}$. 因此有下面的推论.

推论. 有限群 $G$ 的任两个 Sylow $p$-子群都相互共轭.

该推论又得出下面的结论.

命题. 有限群 $G$ 有惟一的 Sylow $p$-子群 $P$ 当且仅当 $P$ 在 $G$ 中正规.

(Pf. $H=gPg^{-1}=P$.)

Sylow 第一定理

Sylow 第三定理

References:

聂灵沼, 丁石孙  《代数学引论》

引理. 考虑组合数 $C_n^{p^k}$.  设 $n=p^{\ell}m$, $k\leqslant\ell$ 且 $(p,m)=1$, 则

\[
p^{\ell-k}\bigr|C_n^{p^k},\quad\text{但}\quad p^{\ell-k+1}\not{\bigr|} C_n^{p^k}.
\]

参考[1]

[1] 聂灵沼、丁石孙 著 《代数学引论》

定理 (Sylow) 设 $G$ 是一有限群,  $p$ 是素数. 若 $p^k$ 整除 $|G|$, $k\geqslant 0$, 则 $G$ 中必存在一个阶为 $p^k$ 的子群.

这里 $|G|$ 指群 $G$ 的阶.

特别地,  当 $|G|=p^{\ell}m$, 且 $(p,m)=1$ 时, $G$ 有阶为 $p^{\ell}$ 的子群. 这种子群称为 $G$ 的 Sylow $p$-子群.

Sylow 第二定理

Sylow 第三定理

References:

聂灵沼, 丁石孙  《代数学引论》