Sylow 第三定理
定理(Sylow 第三定理) 设 $G$ 为一有限群, $p$ 是素数且 $p$ 整除 $|G|$, $k$ 是 $G$ 中全部 Sylow $p$-子群的个数. 则 $k\equiv 1\pmod p$.
[Idea] 这里首先得证明 $G$ 的所有 Sylow $p$-子群的个数整除 $|G|$, 然后应用 $p$-群作用在有限集 $X$ 上的性质(见问题3273).
推论. 设 $G$ 是有限群, $|G|=n=p^{\ell}m$, 且 $(p,m)=1$, $p$ 是素数, 则 $G$ 的 Sylow $p$-子群的个数是 $m$ 的因子.
References:
聂灵沼, 丁石孙 《代数学引论》