问题

定理(Sylow 第二定理)  设有限群 $G$ 的阶为 $p^{\ell}\cdot m$, 其中 $p$ 为素数, 且 $(p,m)=1$. $P$ 为 $G$ 的一个 Sylow $p$-子群. 于是 $G$ 的任何一个阶为 $p^k$ $(k\leqslant\ell)$ 的子群 $H$ 必定包含在一个与 $P$ 共轭的 Sylow $p$-子群中.

[Idea] 考虑 $H$ 在 $X=\{gP\mid g\in G\}$ 上的作用.

特别地, 若 $H$ 是 $G$ 的 Sylow $p$-子群, 则 $H\subset gPg^{-1}$. 又 $|H|=|P|=p^{\ell}$, 故 $H=gPg^{-1}$. 因此有下面的推论.

推论. 有限群 $G$ 的任两个 Sylow $p$-子群都相互共轭.

该推论又得出下面的结论.

命题. 有限群 $G$ 有惟一的 Sylow $p$-子群 $P$ 当且仅当 $P$ 在 $G$ 中正规.

(Pf. $H=gPg^{-1}=P$.)

Sylow 第一定理

Sylow 第三定理

References:

聂灵沼, 丁石孙  《代数学引论》